Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo referente à função
. O que precisamos fazer é:
- Encontrar os pontos de inflexão dessa função.
- Determinar onde a curva está côncava para cima (sorrindo) e para baixo (virando para baixo).
- Fazer um esboço do gráfico.
Para isso, vamos precisar usar derivadas para entender o comportamento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de inflexão. São os pontos onde a curvatura da função muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a segunda derivada da função.
Passo 3
Vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.
Passo 5
Para encontrar os possíveis pontos de inflexão, resolvemos
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os possíveis pontos de inflexão estão em
e
.
Passo 6
Agora, vamos determinar a concavidade em cada intervalo determinado por esses pontos. Vamos escolher pontos de teste em cada intervalo:
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Passo 7
Então, resumindo:
- A curva é côncava para cima nos intervalos
e . - É côncava para baixo no intervalo
. - Os pontos de inflexão estão em
e .
Resposta
A função
possui pontos de inflexão em
e
. A curva é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo no intervalo
. O esboço do gráfico refletirá essas características de concavidade e os pontos de inflexão identificados.