Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. y = x^4 + 2 x^3 + 1.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo referente à função . O que precisamos fazer é:
  • Encontrar os pontos de inflexão dessa função.
  • Determinar onde a curva está côncava para cima (sorrindo) e para baixo (virando para baixo).
  • Fazer um esboço do gráfico.
Para isso, vamos precisar usar derivadas para entender o comportamento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de inflexão. São os pontos onde a curvatura da função muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a segunda derivada da função.

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.

Passo 5

Para encontrar os possíveis pontos de inflexão, resolvemos :
Isso nos dá duas soluções:
Então, os possíveis pontos de inflexão estão em e .

Passo 6

Agora, vamos determinar a concavidade em cada intervalo determinado por esses pontos. Vamos escolher pontos de teste em cada intervalo:
  1. Para , por exemplo :
(positivo, concava para cima)
  1. Para , por exemplo :
(negativo, concava para baixo)
  1. Para , por exemplo :
(positivo, concava para cima)

Passo 7

Então, resumindo:
  • A curva é côncava para cima nos intervalos e .
  • É côncava para baixo no intervalo .
  • Os pontos de inflexão estão em e .

Resposta

A função possui pontos de inflexão em e . A curva é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo no intervalo . O esboço do gráfico refletirá essas características de concavidade e os pontos de inflexão identificados.

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