Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função , além de determinar os intervalos em que a curva é côncava para cima e côncava para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função para achar as informações que precisamos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função, que nos dá a taxa de variação da função em relação a . Isso nos ajuda a entender como a função está crescendo ou decrescendo.
A função é:
Podemos reescrever essa função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra de derivação para potências. A derivada de é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos indica a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada.
A primeira derivada é:
Vamos reescrever para facilitar:
Derivando novamente:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver , ou seja, encontrar os valores de que deixam a segunda derivada igual a zero.
Então, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Então, temos um ponto de inflexão em . Para encontrar a coordenada , substituímos na função original:
Portanto, o ponto de inflexão é .

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade. Analisamos o sinal da segunda derivada em relação a .
Temos dois intervalos a considerar: e .
  1. Para :
    Escolhemos um valor de menor que 3, por exemplo, :
    Como , a função é côncava para cima nesse intervalo.
  2. Para :
    Escolhemos um valor de maior que 3, por exemplo, :
    Como , a função é côncava para baixo nesse intervalo.

Resposta

A função possui um ponto de inflexão em . A curva é côncava para cima no intervalo e côncava para baixo no intervalo . O esboço do gráfico refletirá essa mudança de concavidade no ponto de inflexão encontrado.

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