Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função
, além de determinar os intervalos em que a curva é côncava para cima e côncava para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função para achar as informações que precisamos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função, que nos dá a taxa de variação da função em relação a
. Isso nos ajuda a entender como a função está crescendo ou decrescendo.
A função é:
Podemos reescrever essa função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra de derivação para potências. A derivada de
é
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos indica a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada.
A primeira derivada é:
Vamos reescrever para facilitar:
Derivando novamente:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver
, ou seja, encontrar os valores de
que deixam a segunda derivada igual a zero.
Então, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Então, temos um ponto de inflexão em
. Para encontrar a coordenada
, substituímos
na função original:
Portanto, o ponto de inflexão é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade. Analisamos o sinal da segunda derivada
em relação a
.
Temos dois intervalos a considerar:
e
.
-
Para
:
Escolhemos um valor demenor que 3, por exemplo, : Como, a função é côncava para cima nesse intervalo. -
Para
:
Escolhemos um valor demaior que 3, por exemplo, : Como, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Resposta
A função
possui um ponto de inflexão em
. A curva é côncava para cima no intervalo
e côncava para baixo no intervalo
. O esboço do gráfico refletirá essa mudança de concavidade no ponto de inflexão encontrado.