Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos usar a primeira derivada, que nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo e a localizar seus pontos de máximo ou mínimo. Vamos precisar lembrar sobre derivadas e como elas indicam o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero, porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis máximos ou mínimos.
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Vamos determinar onde a função está crescendo ou diminuindo analisando o sinal da primeira derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
-
Para
:
Escolha: Então, a função está crescente nesse intervalo. -
Para
:
Escolha: Então, a função está decrescente nesse intervalo. -
Para
:
Escolha: Então, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos usando o teste da primeira derivada:
-
Em
:
A derivada passa de positiva para negativa, indicando que a função muda de crescente para decrescente. Portanto, esse ponto é um máximo local. -
Em
:
A derivada passa de negativa para positiva, indicando que a função muda de decrescente para crescente. Portanto, esse ponto é um mínimo local.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função é crescente para
e para . - É decrescente entre
e . - Tem um máximo local em
e um mínimo local em .
Resposta
O gráfico da função
é crescente nos intervalos
e
, decrescente no intervalo
, possui um máximo local em
e um mínimo local em
. Com essas informações, dá para esboçar o gráfico da função.