Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos usar a primeira derivada, que nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo e a localizar seus pontos de máximo ou mínimo. Vamos precisar lembrar sobre derivadas e como elas indicam o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero, porque esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis máximos ou mínimos.
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Vamos determinar onde a função está crescendo ou diminuindo analisando o sinal da primeira derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
  • Para :
    Escolha :
    Então, a função está crescente nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    Então, a função está decrescente nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos usando o teste da primeira derivada:
  • Em :
    A derivada passa de positiva para negativa, indicando que a função muda de crescente para decrescente. Portanto, esse ponto é um máximo local.
  • Em :
    A derivada passa de negativa para positiva, indicando que a função muda de decrescente para crescente. Portanto, esse ponto é um mínimo local.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função é crescente para e para .
  • É decrescente entre e .
  • Tem um máximo local em e um mínimo local em .

Resposta

O gráfico da função é crescente nos intervalos e , decrescente no intervalo , possui um máximo local em e um mínimo local em . Com essas informações, dá para esboçar o gráfico da função.

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