Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é analisar a função
. O objetivo é encontrar os pontos de inflexão, determinar os intervalos onde a curva está côncava para cima e onde está côncava para baixo, e por fim, fazer um esboço dessa curva. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de derivadas para entender a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre concavidade e pontos de inflexão. A concavidade de uma função está relacionada à segunda derivada dela. Se a segunda derivada é positiva em um intervalo, a curva é côncava para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncava para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada passa de positiva para negativa ou vice-versa.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. Isso nos ajudará a entender a concavidade da função.
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver onde a segunda derivada é igual a zero, porque é onde a concavidade pode mudar.
Então, temos um ponto potencial de inflexão em
.
Passo 6
Vamos confirmar se realmente temos um ponto de inflexão nesse valor de
. Para isso, verificamos o sinal da segunda derivada antes e depois de
.
-
Para
:
Vamos escolher: (Negativo) -
Para
:
Vamos escolher: (Positivo)
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva passando por
, temos um ponto de inflexão nesse ponto.
Passo 7
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade.
-
Côncava para baixo: onde
- Intervalo:
- Intervalo:
-
Côncava para cima: onde
- Intervalo:
- Intervalo:
Resposta
A função
tem um ponto de inflexão em
. A curva é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima no intervalo
. O esboço da curva refletirá essa mudança de concavidade no ponto
.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte equação diferencial
.
Encontre um fator integrante para torná-la exata.
Encontre um fator integrante
A Companhia Ace de aluguel de caminhões aluga certo modelo de caminhão a
por dia e 15 centavos por milha. Determine o custo diário do aluguel da Companhia Ace em função do número de milhas percorridas.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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