Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. y = 2x^3 + 3x^2 - 12x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é analisar a função . O objetivo é encontrar os pontos de inflexão, determinar os intervalos onde a curva está côncava para cima e onde está côncava para baixo, e por fim, fazer um esboço dessa curva. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de derivadas para entender a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre concavidade e pontos de inflexão. A concavidade de uma função está relacionada à segunda derivada dela. Se a segunda derivada é positiva em um intervalo, a curva é côncava para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncava para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada passa de positiva para negativa ou vice-versa.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada da função . A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. Isso nos ajudará a entender a concavidade da função.

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver onde a segunda derivada é igual a zero, porque é onde a concavidade pode mudar.
Então, temos um ponto potencial de inflexão em .

Passo 6

Vamos confirmar se realmente temos um ponto de inflexão nesse valor de . Para isso, verificamos o sinal da segunda derivada antes e depois de .
  • Para :
    Vamos escolher :
    (Negativo)
  • Para :
    Vamos escolher :
    (Positivo)
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva passando por , temos um ponto de inflexão nesse ponto.

Passo 7

Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade.
  • Côncava para baixo: onde
    • Intervalo:
  • Côncava para cima: onde
    • Intervalo:

Resposta

A função tem um ponto de inflexão em . A curva é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima no intervalo . O esboço da curva refletirá essa mudança de concavidade no ponto .

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