Considere a seguinte equação diferencial
.
Encontre um fator integrante
para torná-la exata.
Encontre um fator integrante
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação diferencial:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma equação diferencial que não é exata em uma que é, utilizando um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocar os termos em
e
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Para saber se a equação é exata, verificamos se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Agora, vamos buscar um fator integrante
que dependa apenas de
. Esse fator multiplicará toda a equação, tornando-a exata. A condição para isso é:
Como
depende só de
, a condição simplifica para:
Substituindo
e as derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Esta é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração. Podemos simplificar e eliminar
já que estamos procurando apenas um fator integrante.
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos ignorar a constante
porque qualquer múltiplo de um fator integrante também serve como fator integrante.
Resposta
O fator integrante que depende de
é:
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e
, considerando
como função de
e também
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.
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.
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.