Considere a seguinte equação diferencial x + (x^2 y + 4 y) y' = 0.
Encontre um fator integrante F = F(y) para torná-la exata.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação diferencial:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma equação diferencial que não é exata em uma que é, utilizando um fator integrante que depende apenas de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocar os termos em e :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Para saber se a equação é exata, verificamos se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Agora, vamos buscar um fator integrante que dependa apenas de . Esse fator multiplicará toda a equação, tornando-a exata. A condição para isso é:
Como depende só de , a condição simplifica para:
Substituindo e as derivadas:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Esta é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração. Podemos simplificar e eliminar já que estamos procurando apenas um fator integrante.

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Podemos ignorar a constante porque qualquer múltiplo de um fator integrante também serve como fator integrante.

Resposta

O fator integrante que depende de é:

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