Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. y = 5 x^(2 / 3) - x^(5 / 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função usando a primeira derivada. Isso significa que vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo e encontrar os pontos máximos e mínimos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se ela está subindo ou descendo em cada ponto.
A derivada de é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a derivada:
Para facilitar, podemos colocar tudo em termos de potências positivas:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero ou não existe, pois esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Então, resolvemos :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Também observamos que a derivada não existe quando , pois temos uma divisão por zero.

Passo 5

Vamos agora determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada em cada intervalo dividido pelos pontos críticos e .
  • Para :
    é negativo e é positivo. Então:
    Portanto, a função está decrescendo.
  • Para :
    e são positivos. Então:
    Precisamos verificar os valores específicos, mas sabemos que em , a derivada muda de sinal.
  • Para :
    Tanto quanto são positivos, e o termo diminui mais lentamente que . Assim:
    A função está decrescendo.

Passo 6

Agora, identificamos os pontos máximos e mínimos:
  • Em : A derivada não existe e a função tem um comportamento especial aqui. Precisaríamos analisar o limite, mas para simplificar, consideramos que há um ponto de inflexão ou um ponto de canto.
  • Em : A derivada muda de positiva para negativa, indicando um ponto de máximo local.
Vamos calcular o valor de em :
Sabendo que e :

Resposta

A função é decrescente nos intervalos e , possui um ponto máximo local em com valor , e apresenta um comportamento especial em . O gráfico da função reflete esses intervalos de crescimento e decrescimento, com um pico no ponto .

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