Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
usando a primeira derivada. Isso significa que vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo e encontrar os pontos máximos e mínimos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se ela está subindo ou descendo em cada ponto.
A derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a derivada:
Para facilitar, podemos colocar tudo em termos de potências positivas:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero ou não existe, pois esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Então, resolvemos
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Também observamos que a derivada não existe quando
, pois temos uma divisão por zero.
Passo 5
Vamos agora determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada
em cada intervalo dividido pelos pontos críticos
e
.
-
Para
:
é negativo e é positivo. Então: Portanto, a função está decrescendo. -
Para
:
e são positivos. Então: Precisamos verificar os valores específicos, mas sabemos que em, a derivada muda de sinal. -
Para
:
Tantoquanto são positivos, e o termo diminui mais lentamente que . Assim: A função está decrescendo.
Passo 6
Agora, identificamos os pontos máximos e mínimos:
-
Em
: A derivada não existe e a função tem um comportamento especial aqui. Precisaríamos analisar o limite, mas para simplificar, consideramos que há um ponto de inflexão ou um ponto de canto. -
Em
: A derivada muda de positiva para negativa, indicando um ponto de máximo local.
Vamos calcular o valor de
em
:
Sabendo que
e
:
Resposta
A função
é decrescente nos intervalos
e
, possui um ponto máximo local em
com valor
, e apresenta um comportamento especial em
. O gráfico da função reflete esses intervalos de crescimento e decrescimento, com um pico no ponto
.