Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar a primeira derivada, que nos ajuda a descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, e também a encontrar os pontos máximos e mínimos. Basicamente, vamos calcular a derivada, encontrar onde ela é zero ou não existe, e analisar esses pontos para entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Para , aplicamos a regra do poder:

Passo 3

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar essa equação fatorando:
Isso nos dá:
Daí, encontramos:

Passo 4

Esses valores de são nossos pontos críticos. Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido por esses pontos para saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
Os intervalos são:
Vamos escolher valores de teste em cada intervalo e substituir na derivada para ver se é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 5

  1. Intervalo : Vamos escolher .
    A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.
  2. Intervalo : Vamos escolher .
    A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
  3. Intervalo : Vamos escolher .
    A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
  4. Intervalo : Vamos escolher .
    A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos máximos e mínimos usando os pontos críticos que encontramos ( ):
  • Em :
    A derivada muda de positiva para negativa. Isso indica um máximo local.
  • Em :
    A derivada muda de negativa para negativa. Isso não indica nenhum ponto extremo.
  • Em :
    A derivada muda de negativa para positiva. Isso indica um mínimo local.

Passo 7

Finalmente, podemos esboçar o gráfico:
  • A função é crescente para e .
  • A função é decrescente para e .
  • Tem um máximo local em e um mínimo local em .

Resposta

O gráfico da função é crescente nos intervalos e , decrescente em e , possui um máximo local em e um mínimo local em .

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .
Considere a seguinte equação diferencial .
Encontre um fator integrante para torná-la exata.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Calcule as derivadas das funções: