Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar a primeira derivada, que nos ajuda a descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, e também a encontrar os pontos máximos e mínimos. Basicamente, vamos calcular a derivada, encontrar onde ela é zero ou não existe, e analisar esses pontos para entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Para
, aplicamos a regra do poder:
Passo 3
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar essa equação fatorando:
Isso nos dá:
Daí, encontramos:
Passo 4
Esses valores de
são nossos pontos críticos. Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido por esses pontos para saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
Os intervalos são:
Vamos escolher valores de teste em cada intervalo e substituir na derivada
para ver se é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 5
-
Intervalo
: Vamos escolher . A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo. -
Intervalo
: Vamos escolher . A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo. -
Intervalo
: Vamos escolher . A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo. -
Intervalo
: Vamos escolher . A derivada é positiva, então a função está crescente nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos identificar os pontos máximos e mínimos usando os pontos críticos que encontramos (
):
-
Em
:
A derivada muda de positiva para negativa. Isso indica um máximo local. -
Em
:
A derivada muda de negativa para negativa. Isso não indica nenhum ponto extremo. -
Em
:
A derivada muda de negativa para positiva. Isso indica um mínimo local.
Passo 7
Finalmente, podemos esboçar o gráfico:
- A função é crescente para
e . - A função é decrescente para
e . - Tem um máximo local em
e um mínimo local em .
Resposta
O gráfico da função
é crescente nos intervalos
e
, decrescente em
e
, possui um máximo local em
e um mínimo local em
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Considere a seguinte equação diferencial
.
Encontre um fator integrante para torná-la exata.
Encontre um fator integrante
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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Calcule as derivadas das funções: