Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função
, além de descobrir onde a curva é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A primeira derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, ou seja, nos mostra como a função está aumentando ou diminuindo.
A função é
. A derivada em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da curva. A concavidade para cima significa que a curva está “sorrindo”, e para baixo, que está “chorando”. Além disso, os pontos onde a concavidade muda são chamados de pontos de inflexão.
Calculando a segunda derivada:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver a equação
:
Então, os possíveis pontos de inflexão estão em
e
.
Passo 5
Vamos verificar se esses pontos realmente são pontos de inflexão, ou seja, se a concavidade muda nesses pontos. Para isso, vamos analisar o sinal de
em intervalos criados por
e
:
-
Intervalo
:
Escolha: Concavidade para cima. -
Intervalo
:
Escolha: Concavidade para baixo. -
Intervalo
:
Escolha: Concavidade para cima.
Como a concavidade muda em
e
, esses pontos são realmente pontos de inflexão.
Passo 6
Agora, vamos resumir:
- Concavidade para cima: Quando
, ou seja, nos intervalos e . - Concavidade para baixo: Quando
, no intervalo . - Pontos de inflexão: Em
e .
Resposta
A função
possui pontos de inflexão em
e
. A curva é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo no intervalo
.