Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função , além de descobrir onde a curva é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A primeira derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, ou seja, nos mostra como a função está aumentando ou diminuindo.
A função é . A derivada em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da curva. A concavidade para cima significa que a curva está “sorrindo”, e para baixo, que está “chorando”. Além disso, os pontos onde a concavidade muda são chamados de pontos de inflexão.
Calculando a segunda derivada:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver a equação :
Então, os possíveis pontos de inflexão estão em e .

Passo 5

Vamos verificar se esses pontos realmente são pontos de inflexão, ou seja, se a concavidade muda nesses pontos. Para isso, vamos analisar o sinal de em intervalos criados por e :
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Concavidade para cima.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Concavidade para baixo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Concavidade para cima.
Como a concavidade muda em e , esses pontos são realmente pontos de inflexão.

Passo 6

Agora, vamos resumir:
  • Concavidade para cima: Quando , ou seja, nos intervalos e .
  • Concavidade para baixo: Quando , no intervalo .
  • Pontos de inflexão: Em e .

Resposta

A função possui pontos de inflexão em e . A curva é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo no intervalo .

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