Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é a função
e precisamos encontrar os pontos de inflexão, determinar onde a curva é côncava para cima ou para baixo e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para analisar a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Aqui, vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são funções de
.
A regra do quociente diz que:
Onde
e
.
Vamos calcular
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos ajudará a determinar a concavidade da função. A segunda derivada nos mostra como a taxa de variação da função está mudando.
Temos
. Para derivar isso, novamente usamos a regra do quociente.
Vamos chamar:
Calculando
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver
e verificar onde a concavidade muda. Vamos resolver:
O numerador deve ser zero:
Então, os possíveis pontos de inflexão são
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar onde a função é côncava para cima e para baixo analisando o sinal de
.
A expressão de
é:
O denominador
é sempre positivo, já que
para todo
.
Portanto, o sinal de
depende do numerador
:
- Se
(ou seja, ), então : a função é côncava para baixo. - Se
(ou seja, ), então : a função é côncava para cima.
Passo 6
Resumindo tudo:
- Pontos de inflexão:
e . - Intervalos de concavidade:
- Côncava para cima em
. - Côncava para baixo em
e .
- Côncava para cima em
Resposta
Os pontos de inflexão estão em
e
. A curva é côncava para cima no intervalo
e côncava para baixo em
e
. O esboço do gráfico refletirá essas características de concavidade e os pontos de inflexão identificados.
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