Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. y = 4x^2 / (x^2 + 3).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é a função e precisamos encontrar os pontos de inflexão, determinar onde a curva é côncava para cima ou para baixo e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para analisar a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto. Aqui, vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são funções de .
A regra do quociente diz que:
Onde e .
Vamos calcular e :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos ajudará a determinar a concavidade da função. A segunda derivada nos mostra como a taxa de variação da função está mudando.
Temos . Para derivar isso, novamente usamos a regra do quociente.
Vamos chamar:
Calculando e :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver e verificar onde a concavidade muda. Vamos resolver:
O numerador deve ser zero:
Então, os possíveis pontos de inflexão são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar onde a função é côncava para cima e para baixo analisando o sinal de .
A expressão de é:
O denominador é sempre positivo, já que para todo .
Portanto, o sinal de depende do numerador :
  • Se (ou seja, ), então : a função é côncava para baixo.
  • Se (ou seja, ), então : a função é côncava para cima.

Passo 6

Resumindo tudo:
  • Pontos de inflexão: e .
  • Intervalos de concavidade:
    • Côncava para cima em .
    • Côncava para baixo em e .

Resposta

Os pontos de inflexão estão em e . A curva é côncava para cima no intervalo e côncava para baixo em e . O esboço do gráfico refletirá essas características de concavidade e os pontos de inflexão identificados.

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