Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. Construa uma fórmula de uma função
com um máximo em
e um mínimo em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa construir uma função
que tenha um máximo em
e um mínimo em
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a primeira derivada, que nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou decrescendo e onde estão os pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em um ponto de máximo ou mínimo, a derivada da função é zero. Ou seja,
e
. Isso significa que os pontos
e
são pontos críticos da função.
Passo 3
Sabendo que
é um máximo e
é um mínimo, precisamos que a derivada mude de positiva para negativa em
(indicando um máximo) e de negativa para positiva em
(indicando um mínimo). Isso nos dá pistas sobre a forma da derivada.
Passo 4
Vamos assumir que
é um polinômio com raízes em
e
. Uma forma simples para
seria:
Onde
é uma constante que pode ajustar a concavidade da função.
Passo 5
Agora, para encontrar
, precisamos integrar
. Vamos fazer isso:
Primeiro, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar, podemos escolher
e
(já que podemos ajustar a constante depois se necessário). Assim, nossa função fica:
Passo 7
Vamos verificar se essa função atende aos requisitos:
-
e ✔️ - A derivada muda de positiva para negativa em
(máximo) e de negativa para positiva em (mínimo) ✔️
Portanto, essa função atende aos critérios estabelecidos.
Resposta
Uma função que possui um máximo em
e um mínimo em
é: