Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. Construa uma fórmula de uma função com um máximo em e um mínimo em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa construir uma função que tenha um máximo em e um mínimo em . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a primeira derivada, que nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou decrescendo e onde estão os pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um ponto de máximo ou mínimo, a derivada da função é zero. Ou seja, e . Isso significa que os pontos e são pontos críticos da função.

Passo 3

Sabendo que é um máximo e é um mínimo, precisamos que a derivada mude de positiva para negativa em (indicando um máximo) e de negativa para positiva em (indicando um mínimo). Isso nos dá pistas sobre a forma da derivada.

Passo 4

Vamos assumir que é um polinômio com raízes em e . Uma forma simples para seria:
Onde é uma constante que pode ajustar a concavidade da função.

Passo 5

Agora, para encontrar , precisamos integrar . Vamos fazer isso:
Primeiro, vamos expandir :
Então, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar, podemos escolher e (já que podemos ajustar a constante depois se necessário). Assim, nossa função fica:

Passo 7

Vamos verificar se essa função atende aos requisitos:
  • e ✔️
  • A derivada muda de positiva para negativa em (máximo) e de negativa para positiva em (mínimo) ✔️
Portanto, essa função atende aos critérios estabelecidos.

Resposta

Uma função que possui um máximo em e um mínimo em é:

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