Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de inflexão da função
, além de determinar onde a curva é côncava para cima ou para baixo e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que representa a inclinação da curva em cada ponto. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos dá informações sobre a concavidade da curva. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos determinar onde a segunda derivada é igual a zero, pois esses pontos são onde a concavidade pode mudar. Então, resolvemos:
Passo 5
Agora, vamos verificar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, analisamos o sinal da segunda derivada
:
-
Para
: Então, a curva é côncava para baixo nesse intervalo. -
Para
: Assim, a curva é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 6
Com base nisso, o ponto de inflexão ocorre em
. Para encontrar a coordenada
desse ponto, substituímos
na função original:
Portanto, o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função
possui um ponto de inflexão em
. A curva é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima no intervalo
. O esboço do gráfico refletirá essa mudança de concavidade no ponto
.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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