Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de inflexão da função , além de determinar onde a curva é côncava para cima ou para baixo e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que representa a inclinação da curva em cada ponto. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos dá informações sobre a concavidade da curva. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos determinar onde a segunda derivada é igual a zero, pois esses pontos são onde a concavidade pode mudar. Então, resolvemos:

Passo 5

Agora, vamos verificar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, analisamos o sinal da segunda derivada :
  • Para :
    Então, a curva é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para :
    Assim, a curva é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 6

Com base nisso, o ponto de inflexão ocorre em . Para encontrar a coordenada desse ponto, substituímos na função original:
Portanto, o ponto de inflexão é .

Resposta

A função possui um ponto de inflexão em . A curva é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima no intervalo . O esboço do gráfico refletirá essa mudança de concavidade no ponto .

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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .