Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função e a tarefa é esboçar o gráfico dessa função. Para fazer isso, vamos usar a primeira derivada, que faz parte do cálculo diferencial. Com a primeira derivada, a gente consegue descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo e encontrar os pontos de máximo e mínimo. Isso nos ajuda a entender como o gráfico se comporta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como muda quando muda. Vamos derivar cada termo separadamente:
A derivada de é simplesmente , porque a derivada de é e multiplicamos pelo coeficiente.
Para o segundo termo, , vamos reescrever como para facilitar a derivação. A derivada de usando a regra do poder é:
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos resolver a equação :
Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, .
Além disso, verificamos onde a derivada não existe. Neste caso, não existe quando porque teríamos uma divisão por zero. Portanto, os pontos críticos são e . Porém, não está no domínio da função original, então vamos nos concentrar em .

Passo 4

Vamos agora determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada em diferentes intervalos de .
Dividimos a reta real em intervalos com base no ponto crítico :
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal de .
Intervalo :
Escolha :
Como , a função está decrescendo nesse intervalo.
Intervalo :
Escolha :
Como , a função está crescente nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Sabemos que na mudança de decrescente para crescente ocorre um mínimo e de crescente para decrescente ocorre um máximo.
No nosso caso, ao redor de :
  • Para , a função está decrescendo.
  • Para , a função está crescendo.
Isso indica que em temos um ponto de mínimo.
Vamos calcular o valor de nesse ponto:
Então, o ponto mínimo é .

Passo 6

Por fim, vamos resumir tudo para esboçar o gráfico:
  • Domínio: (porque faz o denominador zero).
  • Ponto mínimo: .
  • Comportamento:
    • Para , a função está decrescendo.
    • Para , a função está crescendo.
  • Assíntotas:
    • Quando se aproxima de 0, tende a .
    • Não há assíntota horizontal, mas para muito grande, se comporta como .
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função, destacando o ponto mínimo e mostrando como ela se comporta em cada intervalo.

Resposta

A função tem um ponto mínimo em com . Ela é decrescente para e crescente para . O gráfico apresenta uma assíntota vertical em e se comporta como uma reta com inclinação 2 para valores de muito grandes.

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