Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função
e a tarefa é esboçar o gráfico dessa função. Para fazer isso, vamos usar a primeira derivada, que faz parte do cálculo diferencial. Com a primeira derivada, a gente consegue descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo e encontrar os pontos de máximo e mínimo. Isso nos ajuda a entender como o gráfico se comporta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como
muda quando
muda. Vamos derivar cada termo separadamente:
A derivada de
é simplesmente
, porque a derivada de
é
e multiplicamos pelo coeficiente.
Para o segundo termo,
, vamos reescrever como
para facilitar a derivação. A derivada de
usando a regra do poder é:
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos resolver a equação
:
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então,
.
Além disso, verificamos onde a derivada não existe. Neste caso,
não existe quando
porque teríamos uma divisão por zero. Portanto, os pontos críticos são
e
. Porém,
não está no domínio da função original, então vamos nos concentrar em
.
Passo 4
Vamos agora determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada
em diferentes intervalos de
.
Dividimos a reta real em intervalos com base no ponto crítico
:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal de
.
Intervalo
:
Escolha
:
Como
, a função está decrescendo nesse intervalo.
Intervalo
:
Escolha
:
Como
, a função está crescente nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Sabemos que na mudança de decrescente para crescente ocorre um mínimo e de crescente para decrescente ocorre um máximo.
No nosso caso, ao redor de
:
- Para
, a função está decrescendo. - Para
, a função está crescendo.
Isso indica que em
temos um ponto de mínimo.
Vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Então, o ponto mínimo é
.
Passo 6
Por fim, vamos resumir tudo para esboçar o gráfico:
- Domínio:
(porque faz o denominador zero). - Ponto mínimo:
. - Comportamento:
- Para
, a função está decrescendo. - Para
, a função está crescendo.
- Para
- Assíntotas:
- Quando
se aproxima de 0, tende a . - Não há assíntota horizontal, mas para
muito grande, se comporta como .
- Quando
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função, destacando o ponto mínimo e mostrando como ela se comporta em cada intervalo.
Resposta
A função
tem um ponto mínimo em
com
. Ela é decrescente para
e crescente para
. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em
e se comporta como uma reta com inclinação 2 para valores de
muito grandes.
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