Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função
, determinar onde o gráfico é concavo para cima ou para baixo, e fazer um esboço. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de inflexão e concavidade. Um ponto de inflexão é onde a curva muda de concava para cima para concava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar isso, precisamos analisar a segunda derivada da função.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. A primeira derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da curva.
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver
.
Isso nos dá
e
.
Passo 6
Agora, vamos determinar em quais intervalos a segunda derivada é positiva ou negativa. Isso nos dirá onde a curva é concava para cima ou para baixo.
Escolhemos pontos de teste em cada intervalo definido pelos valores críticos
e
:
- Para
, digamos :
A concavidade é para baixo.
- Para
, digamos :
A concavidade continua para baixo.
- Para
, digamos :
A concavidade é para cima.
Passo 7
Com isso, os pontos de inflexão são em
e
. A curva é concava para baixo em
e concava para cima em
.
Resposta
Os pontos de inflexão da função
estão em
e
. A curva é concava para baixo no intervalo
e concava para cima no intervalo
. O esboço do gráfico refletirá essas características de concavidade e os pontos de inflexão identificados.
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Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Esboce o gráfico de uma função
definida para todo
tal que:
(a) , e
;
(a)