Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função , determinar onde o gráfico é concavo para cima ou para baixo, e fazer um esboço. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de inflexão e concavidade. Um ponto de inflexão é onde a curva muda de concava para cima para concava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar isso, precisamos analisar a segunda derivada da função.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de . A primeira derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da curva.

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver .
Isso nos dá e .

Passo 6

Agora, vamos determinar em quais intervalos a segunda derivada é positiva ou negativa. Isso nos dirá onde a curva é concava para cima ou para baixo.
Escolhemos pontos de teste em cada intervalo definido pelos valores críticos e :
  1. Para , digamos :
A concavidade é para baixo.
  1. Para , digamos :
A concavidade continua para baixo.
  1. Para , digamos :
A concavidade é para cima.

Passo 7

Com isso, os pontos de inflexão são em e . A curva é concava para baixo em e concava para cima em .

Resposta

Os pontos de inflexão da função estão em e . A curva é concava para baixo no intervalo e concava para cima no intervalo . O esboço do gráfico refletirá essas características de concavidade e os pontos de inflexão identificados.

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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Esboce o gráfico de uma função definida para todo tal que:
(a) , e ;