Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O assunto aqui é derivadas, e vamos usar a Regra da Cadeia para achar a derivada dessa função. A Regra da Cadeia é útil quando temos uma função dentro de outra função, o que é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a “cadeia”. A parte de dentro, que está dentro do parênteses, é e a parte de fora é . Então, nossa função pode ser vista como , onde é uma função de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra nos diz que a derivada de uma função composta onde é dada por:

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa multiplicação. Primeiro, a derivada de em relação a :
Isso porque a derivada de é .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 6

Finalmente, juntamos tudo usando a Regra da Cadeia:
Substituindo de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Calcule as derivadas das funções:
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.