Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O assunto aqui é derivadas, e vamos usar a Regra da Cadeia para achar a derivada dessa função. A Regra da Cadeia é útil quando temos uma função dentro de outra função, o que é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a “cadeia”. A parte de dentro, que está dentro do parênteses, é
e a parte de fora é
. Então, nossa função pode ser vista como
, onde
é uma função de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia. Essa regra nos diz que a derivada de uma função composta
onde
é dada por:
Passo 4
Vamos calcular cada parte dessa multiplicação. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Isso porque a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Finalmente, juntamos tudo usando a Regra da Cadeia:
Substituindo
de volta:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Calcule as derivadas das funções:
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.