Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Esboce o gráfico de uma função
definida para todo
tal que:
(a)
, e
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função
definida para todo
que satisfaz as seguintes condições:
-
- ou seja, a função está sempre acima do eixo . -
- a derivada primeira é positiva, o que significa que a função está sempre crescendo. -
- a derivada segunda é positiva, indicando que a concavidade da função está sempre voltada para cima.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e concavidade, mas vou explicar tudo passo a passo para ficar tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma função que está sempre positiva. Uma função simples que sempre dá valores acima de zero é
, onde
é a base dos logaritmos naturais. Mas vamos verificar se ela também atende às outras condições.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Perceba que
também é sempre positivo, já que
para todo
. Isso satisfaz a segunda condição de que a função está sempre crescendo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Novamente,
é sempre positivo, o que significa que a concavidade da função está sempre voltada para cima. Isso atende à terceira condição do enunciado.
Passo 5
Agora que vimos que a função
atende a todas as três condições:
Podemos esboçar o gráfico sabendo que:
- A função está sempre acima do eixo
. - Ela está sempre crescendo.
- A curva está sempre côncava para cima, ou seja, “sorri” para cima.
Resposta
A função
satisfaz todas as condições do enunciado. O gráfico dessa função está sempre acima do eixo
, está sempre crescendo e a concavidade está sempre direcionada para cima. Portanto, esse é um exemplo adequado para o exercício proposto.
Gráfico (Esboço)
Embora eu não possa desenhar aqui, imagine o gráfico da exponencial
:
- Passa pelo ponto
. - Cresce rapidamente à medida que
aumenta. - Nunca toca ou cruza o eixo
. - A curva é sempre “sorridente”, sem pontos de inflexão já que a concavidade não muda.
Fim
Espero que isso ajude a entender como encontrar e esboçar uma função que atende às condições dadas!
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