Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Esboce o gráfico de uma função definida para todo tal que:
(a) , e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico de uma função definida para todo que satisfaz as seguintes condições:
  1. - ou seja, a função está sempre acima do eixo .
  2. - a derivada primeira é positiva, o que significa que a função está sempre crescendo.
  3. - a derivada segunda é positiva, indicando que a concavidade da função está sempre voltada para cima.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e concavidade, mas vou explicar tudo passo a passo para ficar tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma função que está sempre positiva. Uma função simples que sempre dá valores acima de zero é , onde é a base dos logaritmos naturais. Mas vamos verificar se ela também atende às outras condições.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de :
Perceba que também é sempre positivo, já que para todo . Isso satisfaz a segunda condição de que a função está sempre crescendo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Novamente, é sempre positivo, o que significa que a concavidade da função está sempre voltada para cima. Isso atende à terceira condição do enunciado.

Passo 5

Agora que vimos que a função atende a todas as três condições:
Podemos esboçar o gráfico sabendo que:
  • A função está sempre acima do eixo .
  • Ela está sempre crescendo.
  • A curva está sempre côncava para cima, ou seja, “sorri” para cima.

Resposta

A função satisfaz todas as condições do enunciado. O gráfico dessa função está sempre acima do eixo , está sempre crescendo e a concavidade está sempre direcionada para cima. Portanto, esse é um exemplo adequado para o exercício proposto.

Gráfico (Esboço)

Embora eu não possa desenhar aqui, imagine o gráfico da exponencial :
  • Passa pelo ponto .
  • Cresce rapidamente à medida que aumenta.
  • Nunca toca ou cruza o eixo .
  • A curva é sempre “sorridente”, sem pontos de inflexão já que a concavidade não muda.

Fim

Espero que isso ajude a entender como encontrar e esboçar uma função que atende às condições dadas!

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