Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de derivadas usando a Regra da Cadeia. A função que precisamos derivar é:
Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções, utilizando a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa composição. Aqui, temos uma função logarítmica natural
, onde
é igual a
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia. Ela diz que para derivar uma função composta
, a derivada
é:
Ou seja, derivamos a função externa
avaliando na função interna
e multiplicamos pela derivada da função interna
.
Passo 4
Aplicando a Regra da Cadeia à nossa função:
- A função externa é
. - A função interna é
.
Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos derivar a função interna
em relação a
.
A derivada de
é
.
Para derivar
, vamos usar a regra da derivada da função cosseno e a regra do ponto negativo:
Então, a derivada de
é:
Passo 6
Agora, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada da função é:
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Esboce o gráfico de uma função
definida para todo
tal que:
(a) , e
;
(a)
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Seja
. Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de
no intervalo fechado
.