Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
y = ln(x^5 + cos(-x))

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de derivadas usando a Regra da Cadeia. A função que precisamos derivar é:
Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções, utilizando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa composição. Aqui, temos uma função logarítmica natural , onde u é igual a . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia. Ela diz que para derivar uma função composta , a derivada dy/dx é:
Ou seja, derivamos a função externa f avaliando na função interna g(x) e multiplicamos pela derivada da função interna .

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia à nossa função:
  • A função externa é .
  • A função interna é .
Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a u:

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna em relação a x.
A derivada de x^5 é .
Para derivar , vamos usar a regra da derivada da função cosseno e a regra do ponto negativo:
Então, a derivada de g(x) é:

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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