Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de derivadas usando a Regra da Cadeia. A função que precisamos derivar é:
Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções, utilizando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa composição. Aqui, temos uma função logarítmica natural , onde é igual a . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia. Ela diz que para derivar uma função composta , a derivada é:
Ou seja, derivamos a função externa avaliando na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna .

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia à nossa função:
  • A função externa é .
  • A função interna é .
Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a :

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna em relação a .
A derivada de é .
Para derivar , vamos usar a regra da derivada da função cosseno e a regra do ponto negativo:
Então, a derivada de é:

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Esboce o gráfico de uma função definida para todo tal que:
(a) , e ;
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .
Seja . Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de no intervalo fechado .