Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função do tipo
e precisa encontrar os pontos de inflexão, descobrir onde a curva está côncava pra cima ou pra baixo e, claro, fazer um esboço desse gráfico. Isso tudo está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas e concavidade das funções.
Passo 2
Primeiro, pra entender onde a curva muda sua concavidade, a gente precisa calcular a segunda derivada da função. Mas antes disso, vamos achar a primeira derivada. A primeira derivada nos diz a inclinação da curva em cada ponto.
Dada a função:
A primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada.
Então, derivando
:
Passo 4
Os pontos de inflexão acontecem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde ela passa de positiva para negativa ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, vamos resolver:
Então, o ponto de inflexão ocorre em
.
Passo 5
Agora, vamos determinar onde a curva é côncava para cima e para baixo:
- Côncava para cima: Quando a segunda derivada é positiva (
). - Côncava para baixo: Quando a segunda derivada é negativa (
).
Analisando
:
- Se
, então → Côncava para cima. - Se
, então → Côncava para baixo.
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico:
- A curva tem um ponto de inflexão em
. - Para
, a curva está côncava para baixo. - Para
, a curva está côncava para cima. - A forma geral é uma curva cúbica que passa por
com a mudança de concavidade nesse ponto.
Resposta
O ponto de inflexão da função
está em
. A curva é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Esboce o gráfico de uma função
definida para todo
tal que:
(a) , e
;
(a)
Seja
. Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de
no intervalo fechado
.
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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