Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função do tipo e precisa encontrar os pontos de inflexão, descobrir onde a curva está côncava pra cima ou pra baixo e, claro, fazer um esboço desse gráfico. Isso tudo está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de derivadas e concavidade das funções.

Passo 2

Primeiro, pra entender onde a curva muda sua concavidade, a gente precisa calcular a segunda derivada da função. Mas antes disso, vamos achar a primeira derivada. A primeira derivada nos diz a inclinação da curva em cada ponto.
Dada a função:
A primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada.
Então, derivando :

Passo 4

Os pontos de inflexão acontecem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde ela passa de positiva para negativa ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, vamos resolver:
Então, o ponto de inflexão ocorre em .

Passo 5

Agora, vamos determinar onde a curva é côncava para cima e para baixo:
  • Côncava para cima: Quando a segunda derivada é positiva ( ).
  • Côncava para baixo: Quando a segunda derivada é negativa ( ).
Analisando :
  • Se , então → Côncava para cima.
  • Se , então → Côncava para baixo.

Passo 6

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico:
  • A curva tem um ponto de inflexão em .
  • Para , a curva está côncava para baixo.
  • Para , a curva está côncava para cima.
  • A forma geral é uma curva cúbica que passa por com a mudança de concavidade nesse ponto.

Resposta

O ponto de inflexão da função está em . A curva é côncava para baixo quando e côncava para cima quando .

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Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Esboce o gráfico de uma função definida para todo tal que:
(a) , e ;
Seja . Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de no intervalo fechado .
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .