Seja f(x) = x^3 - 3x + 7. Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de f no intervalo fechado [-4, 3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo fechado de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar os pontos críticos onde a função pode atingir esses valores extremos. Então, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe, e depois avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo e onde podem ocorrer os pontos máximos ou mínimos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como a derivada é um polinômio, ela existe para todo , então só precisamos resolver .
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo .
Primeiro, calculamos :
Depois, :
Em seguida, :
Por fim, :

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O menor valor é e o maior valor é .

Resposta

No intervalo , a função tem um mínimo absoluto de em e um máximo absoluto de em .

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