Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de inflexão, determinar os intervalos onde a curva é côncava para cima e para baixo, e fazer um esboço da função
, onde
e
são positivos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da função em termos de crescimento e concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada primeira nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como
muda em relação a
. Para derivar
, vamos usar a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada segunda, que nos ajuda a determinar a concavidade da função. A concavidade para cima significa que a função está “abrindo para cima”, como um sorriso, e concavidade para baixo, como uma cara triste. Para encontrar
, derivamos
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos os valores de
onde a concavidade da função muda, ou seja, onde
ou onde
não está definida. No nosso caso:
O numerador será igual a zero quando:
Isso ocorre quando:
Assim, temos possíveis pontos de inflexão em
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar em quais intervalos a função é côncava para cima e para baixo. Analisamos o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo, já que
e
são positivos e ao cubo permanece positivo. Então, o sinal de
depende do numerador:
Vamos considerar os intervalos determinados pelos pontos críticos
,
, e
:
-
Intervalo
: -
negativo -
negativo (pois ) - Produto: negativo * negativo = positivo
-
negativo → Concava para baixo
-
-
Intervalo
: -
negativo -
positivo (pois ) - Produto: negativo * positivo = negativo
-
positivo → Concava para cima
-
-
Intervalo
: -
positivo -
positivo - Produto: positivo * positivo = positivo
-
negativo → Concava para baixo
-
-
Intervalo
: -
positivo -
negativo - Produto: positivo * negativo = negativo
-
positivo → Concava para cima
-
Passo 6
Finalmente, vamos resumir os resultados:
- Pontos de inflexão:
, , e - Concavidade:
- Côncava para baixo: nos intervalos
e - Côncava para cima: nos intervalos
e
- Côncava para baixo: nos intervalos
Resposta
Os pontos de inflexão da função
ocorrem em
,
, e
. A curva é côncava para baixo nos intervalos
e
, e côncava para cima nos intervalos
e
. O esboço da função refletirá essas concavidades e os pontos de inflexão identificados.
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Seja
. Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de
no intervalo fechado
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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