Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de inflexão, determinar os intervalos onde a curva é côncava para cima e para baixo, e fazer um esboço da função , onde e são positivos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da função em termos de crescimento e concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada primeira nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como muda em relação a . Para derivar , vamos usar a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada segunda, que nos ajuda a determinar a concavidade da função. A concavidade para cima significa que a função está “abrindo para cima”, como um sorriso, e concavidade para baixo, como uma cara triste. Para encontrar , derivamos :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, procuramos os valores de onde a concavidade da função muda, ou seja, onde ou onde não está definida. No nosso caso:
O numerador será igual a zero quando:
Isso ocorre quando:
Assim, temos possíveis pontos de inflexão em e .

Passo 5

Agora, vamos determinar em quais intervalos a função é côncava para cima e para baixo. Analisamos o sinal de :
O denominador é sempre positivo, já que e são positivos e ao cubo permanece positivo. Então, o sinal de depende do numerador:
Vamos considerar os intervalos determinados pelos pontos críticos , , e :
  1. Intervalo :
    • negativo
    • negativo (pois )
    • Produto: negativo * negativo = positivo
    • negativo → Concava para baixo
  2. Intervalo :
    • negativo
    • positivo (pois )
    • Produto: negativo * positivo = negativo
    • positivo → Concava para cima
  3. Intervalo :
    • positivo
    • positivo
    • Produto: positivo * positivo = positivo
    • negativo → Concava para baixo
  4. Intervalo :
    • positivo
    • negativo
    • Produto: positivo * negativo = negativo
    • positivo → Concava para cima

Passo 6

Finalmente, vamos resumir os resultados:
  • Pontos de inflexão: , , e
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo: nos intervalos e
    • Côncava para cima: nos intervalos e

Resposta

Os pontos de inflexão da função ocorrem em , , e . A curva é côncava para baixo nos intervalos e , e côncava para cima nos intervalos e . O esboço da função refletirá essas concavidades e os pontos de inflexão identificados.

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