Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função . O objetivo é encontrar os pontos de inflexão, determinar onde a curva está côncava para cima e para baixo, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajudará a entender a concavidade da curva.

Passo 4

Para localizar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde a segunda derivada é igual a zero ou não está definida.
Não há valor de que satisfaça essa equação, então não há pontos onde a segunda derivada é zero. No entanto, a segunda derivada não está definida quando , mas também não está no domínio da função original. Portanto, não há pontos de inflexão.

Passo 5

Vamos determinar onde a curva é côncava para cima ou para baixo analisando o sinal da segunda derivada.
  • Se , a curva é côncava para cima.
  • Se , a curva é côncava para baixo.
Analisando :
  • Para : → côncava para baixo.
  • Para : → côncava para cima.

Resposta

A função não possui pontos de inflexão. A curva é côncava para cima nos intervalos e côncava para baixo nos intervalos .

Exercícios relacionados

Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .
Seja . Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de no intervalo fechado .
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Em cada item deste problema, use a fórmula dada para a segunda derivada de uma função para localizar os pontos de inflexão, os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e os intervalos em que a concavidade é para baixo:
(a) ;
(b)
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(d) .