Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função
. O objetivo é encontrar os pontos de inflexão, determinar onde a curva está côncava para cima e para baixo, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajudará a entender a concavidade da curva.
Passo 4
Para localizar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde a segunda derivada é igual a zero ou não está definida.
Não há valor de
que satisfaça essa equação, então não há pontos onde a segunda derivada é zero. No entanto, a segunda derivada não está definida quando
, mas
também não está no domínio da função original. Portanto, não há pontos de inflexão.
Passo 5
Vamos determinar onde a curva é côncava para cima ou para baixo analisando o sinal da segunda derivada.
- Se
, a curva é côncava para cima. - Se
, a curva é côncava para baixo.
Analisando
:
- Para
: → côncava para baixo. - Para
: → côncava para cima.
Resposta
A função
não possui pontos de inflexão. A curva é côncava para cima nos intervalos
e côncava para baixo nos intervalos
.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Seja
. Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos de
no intervalo fechado
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Em cada item deste problema, use a fórmula dada para a segunda derivada de uma função para localizar os pontos de inflexão, os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e os intervalos em que a concavidade é para baixo:
(a) ;
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)