Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função
, além de determinar em quais intervalos a curva é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para analisar a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da função, porque os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
A função dada é:
Vamos encontrar a primeira derivada
:
Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia, temos:
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Novamente, aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver
:
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador:
Então, os pontos de inflexão estão em
e
.
Passo 4
Vamos agora determinar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para saber onde a curva é côncava para cima ou para baixo.
Analisando
:
- O denominador
é sempre positivo. - O sinal de
depende apenas do numerador .
Então:
- Se
⇒ ⇒ : ⇒ concava para cima. - Se
⇒ ⇒ : ⇒ concava para baixo.
Resposta
Os pontos de inflexão da função
estão em
e
. A curva é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima nos intervalos
e
.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Em cada item deste problema, use a fórmula dada para a segunda derivada de uma função para localizar os pontos de inflexão, os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e os intervalos em que a concavidade é para baixo:
(a) ;
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Se aplicarmos
num CDB renda fixa, cuja taxa de juros é de 11,25%a.a., qual será o tempo necessário para resgatarmos o dobro do investido?