Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos de inflexão da função , além de determinar em quais intervalos a curva é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para analisar a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da função, porque os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
A função dada é:
Vamos encontrar a primeira derivada :
Usando a regra do quociente ou a regra da cadeia, temos:
Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Novamente, aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver :
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador:
Então, os pontos de inflexão estão em e .

Passo 4

Vamos agora determinar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para saber onde a curva é côncava para cima ou para baixo.
Analisando :
  • O denominador é sempre positivo.
  • O sinal de depende apenas do numerador .
Então:
  • Se : ⇒ concava para cima.
  • Se : ⇒ concava para baixo.

Resposta

Os pontos de inflexão da função estão em e . A curva é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima nos intervalos e .

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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. .
Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Em cada item deste problema, use a fórmula dada para a segunda derivada de uma função para localizar os pontos de inflexão, os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e os intervalos em que a concavidade é para baixo:
(a) ;
(b)
©
(d) .
Se aplicarmos num CDB renda fixa, cuja taxa de juros é de 11,25%a.a., qual será o tempo necessário para resgatarmos o dobro do investido?