Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Em cada item deste problema, use a fórmula dada para a segunda derivada de uma função para localizar os pontos de inflexão, os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e os intervalos em que a concavidade é para baixo:
(a)
;
(b)
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de inflexão, determinar onde a curva é côncava para cima ou para baixo, e fazer um esboço para cada uma das funções fornecidas. Isso tudo usando a segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.
Passo 2
Função (a):
Primeiro, vamos encontrar os pontos de inflexão. Ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
.
Resolvendo
:
As soluções são
e
.
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade.
-
Para
:
Escolha: Então, a curva é côncava para cima. -
Para
:
Escolha: A curva é côncava para baixo. -
Para
:
Escolha: A curva é côncava para cima.
Passo 3
Função (b):
Vamos achar os pontos de inflexão resolvendo
.
Resolvendo
:
As soluções são
e
. A última equação não tem solução real porque
nunca é zero para números reais.
Portanto, o único ponto de inflexão é
.
Agora, vamos verificar a concavidade.
-
Para
:
Escolha: A curva é côncava para baixo. -
Para
:
Escolha: A curva é côncava para cima.
Passo 4
Função ©:
Primeiro, encontramos os pontos de inflexão resolvendo
.
Resolvendo
:
As soluções são
e
.
Agora, vamos analisar a concavidade.
-
Para
:
Escolha: A curva é côncava para cima. -
Para
:
Escolha: A curva é côncava para baixo. -
Para
:
Escolha: A curva é côncava para baixo. -
Para
:
Escolha: A curva é côncava para cima.
Passo 5
Função (d):
Primeiro, vamos expandir a expressão:
Agora, encontramos os pontos de inflexão resolvendo
:
As soluções são
(multiplicidade 2) e
.
Como
tem multiplicidade par, a concavidade não muda nesse ponto. Portanto, o único ponto de inflexão é
.
Vamos analisar a concavidade.
-
Para
:
Escolha: A curva é côncava para baixo. -
Para
:
Escolha: A curva é côncava para baixo. -
Para
:
Escolha: A curva é côncava para cima.
Resposta
Resumindo:
(a) Pontos de inflexão em
e
. Concava para cima em
e
, côncava para baixo em
.
(b) Ponto de inflexão em
. Concava para baixo em
e concava para cima em
.
© Pontos de inflexão em
,
e
. Concava para cima em
e
, côncava para baixo em
e
.
(d) Ponto de inflexão em
. Concava para baixo em
e concava para cima em
.
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Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço.
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num CDB renda fixa, cuja taxa de juros é de 11,25%a.a., qual será o tempo necessário para resgatarmos o dobro do investido?
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