Para cada uma das seguintes funções, localize os pontos de inflexão, determine os intervalos em que a curva é côncava para cima e aqueles em que é côncava para baixo e faça um esboço. Em cada item deste problema, use a fórmula dada para a segunda derivada de uma função para localizar os pontos de inflexão, os intervalos em que o gráfico é côncavo para cima e os intervalos em que a concavidade é para baixo:
(a) ;
(b)
©
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de inflexão, determinar onde a curva é côncava para cima ou para baixo, e fazer um esboço para cada uma das funções fornecidas. Isso tudo usando a segunda derivada da função, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.

Passo 2

Função (a):
Primeiro, vamos encontrar os pontos de inflexão. Ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde .
Resolvendo :
As soluções são e .
Agora, vamos determinar os intervalos de concavidade.
  • Para :
    Escolha :
    Então, a curva é côncava para cima.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para baixo.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para cima.

Passo 3

Função (b):
Vamos achar os pontos de inflexão resolvendo .
Resolvendo :
As soluções são e . A última equação não tem solução real porque nunca é zero para números reais.
Portanto, o único ponto de inflexão é .
Agora, vamos verificar a concavidade.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para baixo.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para cima.

Passo 4

Função ©:
Primeiro, encontramos os pontos de inflexão resolvendo .
Resolvendo :
As soluções são e .
Agora, vamos analisar a concavidade.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para cima.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para baixo.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para baixo.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para cima.

Passo 5

Função (d):
Primeiro, vamos expandir a expressão:
Agora, encontramos os pontos de inflexão resolvendo :
As soluções são (multiplicidade 2) e .
Como tem multiplicidade par, a concavidade não muda nesse ponto. Portanto, o único ponto de inflexão é .
Vamos analisar a concavidade.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para baixo.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para baixo.
  • Para :
    Escolha :
    A curva é côncava para cima.

Resposta

Resumindo:
(a) Pontos de inflexão em e . Concava para cima em e , côncava para baixo em .
(b) Ponto de inflexão em . Concava para baixo em e concava para cima em .
© Pontos de inflexão em , e . Concava para cima em e , côncava para baixo em e .
(d) Ponto de inflexão em . Concava para baixo em e concava para cima em .

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