Em cada um dos seguintes itens, determinar a equação e fazer um esboço da parábola a partir dos elementos dados:
Vértice V=(4,2) e diretriz d: 3 y+3=0;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vértice de uma parábola em V=(4,2) e a equação da diretriz d: 3y + 3 = 0. O conteúdo que vamos usar aqui envolve a definição de parábola e como encontrar sua equação a partir do vértice e da diretriz. Precisaremos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo (foco) e de uma linha fixa (diretriz).

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação da diretriz para facilitar o cálculo. A equação dada é 3y + 3 = 0. Subtraindo 3 de ambos os lados:
3y = -3 y = -1
Então, a diretriz é a linha horizontal y = -1.

Passo 3

Sabemos que o vértice está localizado no meio entre o foco e a diretriz. Como o vértice está em y=2 e a diretriz está em y=-1, podemos encontrar a distância entre eles.
A distância do vértice até a diretriz é 2 - (-1) = 3 unidades. Portanto, a distância do vértice até o foco também será 3 unidades.
Como a diretriz está abaixo do vértice, o foco estará acima. Então, a coordenada y do foco será 2 + 3 = 5.
Portanto, o foco está em F=(4,5).

Passo 4

Com o vértice V=(4,2) e o foco F=(4,5), vemos que a parábola é vertical, pois o foco está diretamente acima do vértice.
A equação padrão de uma parábola vertical é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Onde (h,k) é o vértice e p é a distância do vértice ao foco.
No nosso caso, h=4, k=2, e p=3.

Passo 5

Substituindo os valores na equação padrão:
(x - 4)^2 = 4 times 3 times (y - 2) (x - 4)^2 = 12(y - 2)
Portanto, a equação da parábola é (x - 4)^2 = 12(y - 2).

Passo 6

Para fazer o esboço da parábola, vamos considerar:
  • Vértice em (4,2).
  • Diretriz em y=-1.
  • Foco em (4,5).
  • A parábola abre para cima, já que o foco está acima do vértice e a diretriz está abaixo.
Desenhando no plano cartesiano, temos a parábola com base nesses elementos.

Resposta

A equação da parábola é (x - 4)^2 = 12(y - 2). O esboço da parábola tem vértice em (4,2), diretriz em y=-1, foco em (4,5) e abre para cima.

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