Em cada um dos seguintes itens, determinar a equação e fazer um esboço da parábola a partir dos elementos dados:
Vértice
e diretriz
;
Vértice
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vértice de uma parábola em
e a equação da diretriz
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve a definição de parábola e como encontrar sua equação a partir do vértice e da diretriz. Precisaremos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo (foco) e de uma linha fixa (diretriz).
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação da diretriz para facilitar o cálculo. A equação dada é
. Subtraindo 3 de ambos os lados:
Então, a diretriz é a linha horizontal
.
Passo 3
Sabemos que o vértice está localizado no meio entre o foco e a diretriz. Como o vértice está em
e a diretriz está em
, podemos encontrar a distância entre eles.
A distância do vértice até a diretriz é
unidades. Portanto, a distância do vértice até o foco também será 3 unidades.
Como a diretriz está abaixo do vértice, o foco estará acima. Então, a coordenada y do foco será
.
Portanto, o foco está em
.
Passo 4
Com o vértice
e o foco
, vemos que a parábola é vertical, pois o foco está diretamente acima do vértice.
A equação padrão de uma parábola vertical é:
Onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco.
No nosso caso,
,
, e
.
Passo 5
Substituindo os valores na equação padrão:
Portanto, a equação da parábola é
.
Passo 6
Para fazer o esboço da parábola, vamos considerar:
- Vértice em
. - Diretriz em
. - Foco em
. - A parábola abre para cima, já que o foco está acima do vértice e a diretriz está abaixo.
Desenhando no plano cartesiano, temos a parábola com base nesses elementos.
Resposta
A equação da parábola é
. O esboço da parábola tem vértice em
, diretriz em
, foco em
e abre para cima.