Suponha que
é linearmente independente.
conjunto
é linearmente independente? Justifique.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
que é linearmente independente. A pergunta é: se multiplicarmos cada vetor por um número diferente, ou seja, formando o conjunto
, esse novo conjunto também será linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como a multiplicação por escalares (números) afeta essa independência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
só tem a solução
. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Queremos saber se esse conjunto também é linearmente independente. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
Podemos simplificar isso:
Passo 4
Como sabemos que
é linearmente independente, a única solução para a equação acima é que todos os coeficientes sejam zero:
Resolvendo essas equações, temos:
Passo 5
Já que a única solução possível é
, isso significa que a combinação linear igual a zero só ocorre quando todos os coeficientes são nulos. Portanto, o conjunto
também é linearmente independente.
Resposta
Sim, o conjunto
é linearmente independente.