Suponha que u, v, w é linearmente independente. O conjunto 3 u, 4 v, 5 w é linearmente independente? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores u, v, w que é linearmente independente. A pergunta é: se multiplicarmos cada vetor por um número diferente, ou seja, formando o conjunto 3 u, 4 v, 5 w, esse novo conjunto também será linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como a multiplicação por escalares (números) afeta essa independência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
c1 u + c2 v + c3 w = 0
só tem a solução c1 = c2 = c3 = 0. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto 3 u, 4 v, 5 w. Queremos saber se esse conjunto também é linearmente independente. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
a (3 u) + b (4 v) + c (5 w) = 0
Podemos simplificar isso:
3a u + 4b v + 5c w = 0

Passo 4

Como sabemos que u, v, w é linearmente independente, a única solução para a equação acima é que todos os coeficientes sejam zero:
3a = 0 4b = 0 5c = 0
Resolvendo essas equações, temos:
a = 0 b = 0 c = 0

Passo 5

Já que a única solução possível é a = b = c = 0, isso significa que a combinação linear igual a zero só ocorre quando todos os coeficientes são nulos. Portanto, o conjunto 3 u, 4 v, 5 w também é linearmente independente.

Resposta

Sim, o conjunto 3 u, 4 v, 5 w é linearmente independente.

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