Determine uma parametrização para cada um dos conjuntos abaixo descritos: A reta que contém (1,3,2) e é paralela a (4,-1,7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma parametrização para uma reta no espaço que passa pelo ponto e que é paralela ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização de reta e como usar um ponto e um vetor para descrevê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parametrização de reta no espaço tridimensional é uma forma de descrever todos os pontos que estão na reta usando uma variável, geralmente chamada de r(t) = r0 + t cdot v . A fórmula geral para parametrizar uma reta é:
Aqui, é um ponto que está na reta, e é o vetor que indica a direção da reta.

Passo 3

No nosso caso, o ponto que a reta passa é , então podemos identificar . O vetor paralelo à reta é , então .

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da parametrização:
r(t) = (1, 3, 2) + t cdot (4, -1, 7)
Isso significa que para cada valor de , a expressão nos dá um ponto diferente na reta.

Passo 5

Se quisermos escrever isso de forma mais detalhada, podemos separar cada coordenada:
r(t) = (1 + 4t, 3 - t, 2 + 7t)
Assim, a parametrização completa da reta é dada por essas três equações que variam com .

Resposta

A parametrização da reta é:
r(t) = (1 + 4t, 3 - t, 2 + 7t)

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