Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
g) o centro sobre a reta r : y=2, foco F(3,4), excentricidade e=2 raiz55 e os seus eixos são paralelos aos eixos coordenados;
(x-3)^2+(y-2)^25=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente encontrar a equação de uma elipse com algumas características específicas. Aqui, a gente vai trabalhar com geometria analítica, focando em elipses. Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre o centro da elipse, os focos, a excentricidade e a orientação dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com os eixos paralelos aos eixos coordenados é:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Aqui, é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

A questão nos diz que o centro está sobre a reta . Então, o valor de é 2. Além disso, temos um foco em . Como o centro está na reta , e o foco tem coordenadas , fica claro que o centro da elipse está diretamente abaixo do foco na mesma posição horizontal, ou seja, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de e = ca e c = raiz(3-3)^2 + (4-2)^2 = raiz0 + 4 = 2 . A excentricidade da elipse é dada por:
Onde é a distância do centro ao foco. Nos foi dado que .
Primeiro, vamos calcular . O centro é e o foco é , então:

Passo 5

Agora, usando a relação da excentricidade:
2 raiz55 = 2a
Resolvendo para a = 2 cdot 52 raiz5 = 5raiz5 = raiz5 :

Passo 6

Sabemos que em uma elipse:
c^2 = a^2 - b^2
Já temos 2^2 = (raiz5)^2 - b^2 e 4 = 5 - b^2 . Substituindo:
b^2 = 5 - 4 = 1

Passo 7

Agora, temos todos os valores necessários para a equação da elipse:
  • Centro: (x-3)^25 + (y-2)^21 = 1
  • (x-3)^2 + (y-2)^25 = 1
Substituindo na fórmula padrão:
Podemos também escrever isso como:

Resposta

A equação da elipse é:
(x-3)^2 + (y-2)^25 = 1

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