Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
g) o centro sobre a reta
:
, foco
, excentricidade
e os seus eixos são paralelos aos eixos coordenados;
g) o centro sobre a reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente encontrar a equação de uma elipse com algumas características específicas. Aqui, a gente vai trabalhar com geometria analítica, focando em elipses. Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre o centro da elipse, os focos, a excentricidade e a orientação dos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com os eixos paralelos aos eixos coordenados é:
Aqui,
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
A questão nos diz que o centro está sobre a reta
. Então, o valor de
é 2. Além disso, temos um foco em
. Como o centro está na reta
, e o foco tem coordenadas
, fica claro que o centro da elipse está diretamente abaixo do foco na mesma posição horizontal, ou seja,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. A excentricidade
da elipse é dada por:
Onde
é a distância do centro ao foco. Nos foi dado que
.
Primeiro, vamos calcular
. O centro é
e o foco é
, então:
Passo 5
Agora, usando a relação da excentricidade:
Resolvendo para
:
Passo 6
Sabemos que em uma elipse:
Já temos
e
. Substituindo:
Passo 7
Agora, temos todos os valores necessários para a equação da elipse:
- Centro:
-
-
Substituindo na fórmula padrão:
Podemos também escrever isso como:
Resposta
A equação da elipse é: