Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
g) o centro sobre a reta : , foco , excentricidade e os seus eixos são paralelos aos eixos coordenados;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente encontrar a equação de uma elipse com algumas características específicas. Aqui, a gente vai trabalhar com geometria analítica, focando em elipses. Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre o centro da elipse, os focos, a excentricidade e a orientação dos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com os eixos paralelos aos eixos coordenados é:
Aqui, é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.
Passo 3
A questão nos diz que o centro está sobre a reta . Então, o valor de é 2. Além disso, temos um foco em . Como o centro está na reta , e o foco tem coordenadas , fica claro que o centro da elipse está diretamente abaixo do foco na mesma posição horizontal, ou seja, .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de e . A excentricidade da elipse é dada por:
Onde é a distância do centro ao foco. Nos foi dado que .
Primeiro, vamos calcular . O centro é e o foco é , então:
Passo 5
Agora, usando a relação da excentricidade:
Resolvendo para :
Passo 6
Sabemos que em uma elipse:
Já temos e . Substituindo:
Passo 7
Agora, temos todos os valores necessários para a equação da elipse: