Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
g) o centro sobre a reta : , foco , excentricidade e os seus eixos são paralelos aos eixos coordenados;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para a gente encontrar a equação de uma elipse com algumas características específicas. Aqui, a gente vai trabalhar com geometria analítica, focando em elipses. Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre o centro da elipse, os focos, a excentricidade e a orientação dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse com os eixos paralelos aos eixos coordenados é:
Aqui, é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

A questão nos diz que o centro está sobre a reta . Então, o valor de é 2. Além disso, temos um foco em . Como o centro está na reta , e o foco tem coordenadas , fica claro que o centro da elipse está diretamente abaixo do foco na mesma posição horizontal, ou seja, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de e . A excentricidade da elipse é dada por:
Onde é a distância do centro ao foco. Nos foi dado que .
Primeiro, vamos calcular . O centro é e o foco é , então:

Passo 5

Agora, usando a relação da excentricidade:
Resolvendo para :

Passo 6

Sabemos que em uma elipse:
Já temos e . Substituindo:

Passo 7

Agora, temos todos os valores necessários para a equação da elipse:
  • Centro:
Substituindo na fórmula padrão:
Podemos também escrever isso como:

Resposta

A equação da elipse é:

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Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(j)
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(f)
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