Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(d)

Passo 1

Então, temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O enunciado pede para a gente:
  1. Identificar as matrizes , e a matriz aumentada .
  2. Escalonar a matriz aumentada.
  3. Determinar quais variáveis são livres e quais são dependentes.
  4. Classificar o sistema.
  5. Resolver o sistema, se houver solução.
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar sistemas lineares em forma matricial e como escalonar matrizes para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz , o vetor e a matriz aumentada .
A matriz contém os coeficientes das variáveis nas equações:
O vetor é o resultado das equações:
A matriz aumentada junta e :

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada . Escalonar significa transformar a matriz em uma forma onde fica mais fácil resolver o sistema, geralmente deixando os coeficientes principais na diagonal.
Começamos com a matriz:
Primeiro, vamos zerar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Subtraímos a primeira linha da segunda e três vezes a primeira linha da terceira:
  • Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
  • Linha 3 = Linha 3 - 3 × Linha 1:
A matriz fica assim:
Agora, vamos zerar o elemento da terceira linha na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira:
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 2:
A matriz escalonada fica:

Passo 4

Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. As variáveis dependentes correspondem às colunas com pivôs (elementos não nulos na diagonal), e as variáveis livres não têm pivôs.
Na nossa matriz escalonada:
  • A coluna 1 ( ) tem um pivô.
  • A coluna 2 ( ) também tem um pivô.
  • A coluna 3 ( ) não tem pivô, então é uma variável livre.

Passo 5

Agora, vamos classificar o sistema. Como temos uma linha toda de zeros na matriz aumentada e as equações são consistentes (não há contradições), o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Da matriz escalonada, temos as seguintes equações:
Como é livre, podemos expressá-lo como um parâmetro .
Primeiro, resolvemos a segunda equação para :
Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são:
Onde é um número real qualquer.

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Dadas as equações das parábolas:
2.2)
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
diretiz: ; eixo focal:
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
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Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(j)
Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
g) o centro sobre a reta : , foco , excentricidade e os seus eixos são paralelos aos eixos coordenados;