Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(d) rx-3 y+2 z=1 x+y-z=1 3 x-5 y+3 z=3

Passo 1

Então, temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O enunciado pede para a gente:
  1. Identificar as matrizes , e a matriz aumentada .
  2. Escalonar a matriz aumentada.
  3. Determinar quais variáveis são livres e quais são dependentes.
  4. Classificar o sistema.
  5. Resolver o sistema, se houver solução.
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar sistemas lineares em forma matricial e como escalonar matrizes para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A = 1 & -3 & 2 1 & 1 & -1 3 & -5 & 3 , o vetor b = 1 1 3 e a matriz aumentada [A mid b] = 1 & -3 & 2 & | & 1 1 & 1 & -1 & | & 1 3 & -5 & 3 & | & 3 .
A matriz contém os coeficientes das variáveis nas equações:
O vetor é o resultado das equações:
A matriz aumentada junta e :

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada 1 & -3 & 2 & | & 1 1 & 1 & -1 & | & 1 3 & -5 & 3 & | & 3 . Escalonar significa transformar a matriz em uma forma onde fica mais fácil resolver o sistema, geralmente deixando os coeficientes principais na diagonal.
Começamos com a matriz:
1 - 1 = 0, 1 - (-3) = 4, -1 - 2 = -3, 1 - 1 = 0
Primeiro, vamos zerar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Subtraímos a primeira linha da segunda e três vezes a primeira linha da terceira:
  • Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
3 - 3×1 = 0, -5 - 3×(-3) = 4, 3 - 3×2 = -3, 3 - 3×1 = 0
  • Linha 3 = Linha 3 - 3 × Linha 1:
1 & -3 & 2 & | & 1 0 & 4 & -3 & | & 0 0 & 4 & -3 & | & 0
A matriz fica assim:
0 - 0 = 0, 4 - 4 = 0, -3 - (-3) = 0, 0 - 0 = 0
Agora, vamos zerar o elemento da terceira linha na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira:
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 2:
1 & -3 & 2 & | & 1 0 & 4 & -3 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0
A matriz escalonada fica:

Passo 4

Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. As variáveis dependentes correspondem às colunas com pivôs (elementos não nulos na diagonal), e as variáveis livres não têm pivôs.
Na nossa matriz escalonada:
  • A coluna 1 ( ) tem um pivô.
  • A coluna 2 ( ) também tem um pivô.
  • A coluna 3 ( ) não tem pivô, então é uma variável livre.

Passo 5

Agora, vamos classificar o sistema. Como temos uma linha toda de zeros na matriz aumentada e as equações são consistentes (não há contradições), o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Da matriz escalonada, temos as seguintes equações:
  1. 4y - 3z = 0 Rightarrow y = 34z = 34t
  2. x - 3(34t) + 2t = 1 Rightarrow x - 94t + 2t = 1 Rightarrow x + (-9 + 8)4t = 1 Rightarrow x - 14t = 1 Rightarrow x = 1 + 14t
Como é livre, podemos expressá-lo como um parâmetro .
Primeiro, resolvemos a segunda equação para :
Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 1 + dfrac14t y = dfrac34t z = t
Onde é um número real qualquer.

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