Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(d)
Passo 1
Então, temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O enunciado pede para a gente:
Identificar as matrizes , e a matriz aumentada .
Escalonar a matriz aumentada.
Determinar quais variáveis são livres e quais são dependentes.
Classificar o sistema.
Resolver o sistema, se houver solução.
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar sistemas lineares em forma matricial e como escalonar matrizes para facilitar a solução.
A matriz contém os coeficientes das variáveis nas equações:
O vetor é o resultado das equações:
A matriz aumentada junta e :
Passo 3
Agora, vamos escalonar a matriz aumentada 1 & -3 & 2 & | & 1 1 & 1 & -1 & | & 1 3 & -5 & 3 & | & 3 . Escalonar significa transformar a matriz em uma forma onde fica mais fácil resolver o sistema, geralmente deixando os coeficientes principais na diagonal.
Começamos com a matriz:
1 - 1 = 0, 1 - (-3) = 4, -1 - 2 = -3, 1 - 1 = 0
Primeiro, vamos zerar o primeiro elemento da segunda e terceira linhas. Subtraímos a primeira linha da segunda e três vezes a primeira linha da terceira:
Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. As variáveis dependentes correspondem às colunas com pivôs (elementos não nulos na diagonal), e as variáveis livres não têm pivôs.
Na nossa matriz escalonada:
A coluna 1 ( ) tem um pivô.
A coluna 2 ( ) também tem um pivô.
A coluna 3 ( ) não tem pivô, então é uma variável livre.
Passo 5
Agora, vamos classificar o sistema. Como temos uma linha toda de zeros na matriz aumentada e as equações são consistentes (não há contradições), o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.
Passo 6
Vamos resolver o sistema. Da matriz escalonada, temos as seguintes equações:
4y - 3z = 0 Rightarrow y = 34z = 34t
x - 3(34t) + 2t = 1 Rightarrow x - 94t + 2t = 1 Rightarrow x + (-9 + 8)4t = 1 Rightarrow x - 14t = 1 Rightarrow x = 1 + 14t
Como é livre, podemos expressá-lo como um parâmetro .