Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares aqui, e o que precisamos fazer é:
Identificar as matrizes A, b e a matriz aumentada [A | b].
Escalonar a matriz aumentada para deixar ela mais simples.
Descobrir quais variáveis são livres e quais são dependentes.
Classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução).
Resolver o sistema se tiver solução.
Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como matrizes, escalonamento e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as matrizes A, b e a matriz aumentada [A | b] a partir do sistema dado:
Aqui, A é a matriz dos coeficientes das variáveis, b é o vetor dos termos constantes, e [A | b] é a matriz aumentada que junta A e b.
Então temos:
Passo 3
Agora vamos escalonar a matriz aumentada [A | b]. Isso significa que vamos usar operações de linha para transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar facilmente as soluções.
Começamos com a matriz:
Passo 3.1: Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 4 vezes a primeira linha da terceira linha.
Segunda linha: , , , .
Terceira linha: , , , .
A matriz fica:
Passo 3.2: Agora, vamos zerar o elemento abaixo do -5 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira linha.
Terceira linha: , , , .
A matriz escalonada fica:
Passo 4
Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. Olhando para a matriz escalonada:
A primeira coluna tem um pivô (1 na posição (1,1)), então é uma variável dependente.
A segunda coluna também tem um pivô (-5 na posição (2,2)), então é dependente.
A terceira coluna não tem pivô, então é uma variável livre.
Passo 5
Vamos classificar o sistema. Vemos que:
Temos 3 equações e 3 incógnitas.
A matriz escalonada não apresenta inconsistências (como uma linha do tipo ).
Como há uma variável livre, isso indica que há infinitas soluções.
Então, o sistema é consistente e possui infinitas soluções.
Passo 6
Vamos resolver o sistema utilizando a matriz escalonada:
A segunda equação simplifica para:
Como é livre, podemos atribuir , onde é um parâmetro real.
Substituindo na primeira equação:
Resposta
A solução do sistema é:
Ou seja, todas as soluções podem ser expressas como para qualquer número real .