Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares aqui, e o que precisamos fazer é:
  1. Identificar as matrizes A, b e a matriz aumentada [A | b].
  2. Escalonar a matriz aumentada para deixar ela mais simples.
  3. Descobrir quais variáveis são livres e quais são dependentes.
  4. Classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução).
  5. Resolver o sistema se tiver solução.
Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como matrizes, escalonamento e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes A, b e a matriz aumentada [A | b] a partir do sistema dado:
Aqui, A é a matriz dos coeficientes das variáveis, b é o vetor dos termos constantes, e [A | b] é a matriz aumentada que junta A e b.
Então temos:

Passo 3

Agora vamos escalonar a matriz aumentada [A | b]. Isso significa que vamos usar operações de linha para transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar facilmente as soluções.
Começamos com a matriz:
Passo 3.1: Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 4 vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Segunda linha: , , , .
  • Terceira linha: , , , .
A matriz fica:
Passo 3.2: Agora, vamos zerar o elemento abaixo do -5 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira linha.
  • Terceira linha: , , , .
A matriz escalonada fica:

Passo 4

Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. Olhando para a matriz escalonada:
  • A primeira coluna tem um pivô (1 na posição (1,1)), então é uma variável dependente.
  • A segunda coluna também tem um pivô (-5 na posição (2,2)), então é dependente.
  • A terceira coluna não tem pivô, então é uma variável livre.

Passo 5

Vamos classificar o sistema. Vemos que:
  • Temos 3 equações e 3 incógnitas.
  • A matriz escalonada não apresenta inconsistências (como uma linha do tipo ).
  • Como há uma variável livre, isso indica que há infinitas soluções.
Então, o sistema é consistente e possui infinitas soluções.

Passo 6

Vamos resolver o sistema utilizando a matriz escalonada:
A segunda equação simplifica para:
Como é livre, podemos atribuir , onde é um parâmetro real.
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
Ou seja, todas as soluções podem ser expressas como para qualquer número real .

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Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(d)
Dadas as equações das parábolas:
2.2)
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
diretiz: ; eixo focal:
Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
g) o centro sobre a reta : , foco , excentricidade e os seus eixos são paralelos aos eixos coordenados;
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(f)