Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(j) x+2 y-z & =0 2 x-y+3 z & =0 4 x+3 y+z & =0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares aqui, e o que precisamos fazer é:
  1. Identificar as matrizes A, b e a matriz aumentada [A | b].
  2. Escalonar a matriz aumentada para deixar ela mais simples.
  3. Descobrir quais variáveis são livres e quais são dependentes.
  4. Classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução).
  5. Resolver o sistema se tiver solução.
Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como matrizes, escalonamento e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes A, b e a matriz aumentada [A | b] a partir do sistema dado:
x + 2y - z = 0 2x - y + 3z = 0 4x + 3y + z = 0
Aqui, A é a matriz dos coeficientes das variáveis, b é o vetor dos termos constantes, e [A | b] é a matriz aumentada que junta A e b.
Então temos:
A = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 3 4 & 3 & 1 , b = 0 0 0 , [A mid b] = 1 & 2 & -1 & | & 0 2 & -1 & 3 & | & 0 4 & 3 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora vamos escalonar a matriz aumentada [A | b]. Isso significa que vamos usar operações de linha para transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar facilmente as soluções.
Começamos com a matriz:
1 & 2 & -1 & | & 0 2 & -1 & 3 & | & 0 4 & 3 & 1 & | & 0
Passo 3.1: Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 4 vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Segunda linha: 1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -5 & 5 & | & 0 0 & -5 & 5 & | & 0 , 1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -5 & 5 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 , , .
  • Terceira linha: , , , .
A matriz fica:
Passo 3.2: Agora, vamos zerar o elemento abaixo do -5 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira linha.
  • Terceira linha: , , , .
A matriz escalonada fica:

Passo 4

Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. Olhando para a matriz escalonada:
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -5 & 5 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0
  • A primeira coluna tem um pivô (1 na posição (1,1)), então é uma variável dependente.
  • A segunda coluna também tem um pivô (-5 na posição (2,2)), então é dependente.
  • A terceira coluna não tem pivô, então é uma variável livre.

Passo 5

Vamos classificar o sistema. Vemos que:
  • Temos 3 equações e 3 incógnitas.
  • A matriz escalonada não apresenta inconsistências (como uma linha do tipo ).
  • Como há uma variável livre, isso indica que há infinitas soluções.
Então, o sistema é consistente e possui infinitas soluções.

Passo 6

Vamos resolver o sistema utilizando a matriz escalonada:
x + 2y - z = 0 -5y + 5z = 0 0 = 0
A segunda equação simplifica para:
-5y + 5z = 0 implies y = z
Como x + 2t - t = 0 implies x + t = 0 implies x = -t é livre, podemos atribuir , onde é um parâmetro real.
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = -t, y = t, z = t, onde t in R
Ou seja, todas as soluções podem ser expressas como para qualquer número real .

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