Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(f) x+y+z-w & =2 2 x-y-z-w & =-1 x-2 y-2 z & =-3 3 x-3 y-3 z-w & =-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que tem quatro equações com quatro variáveis: . O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente matrizes e resolução de sistemas lineares por escalonamento. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes , o vetor de termos independentes e a matriz aumentada .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes de cada variável em cada equação e montar as matrizes.
A = 1 & 1 & 1 & -1 2 & -1 & -1 & -1 1 & -2 & -2 & 0 3 & -3 & -3 & -1 , b = 2 -1 -3 -4
A matriz aumentada fica assim:
[A mid b] = 1 & 1 & 1 & -1 & mid & 2 2 & -1 & -1 & -1 & mid & -1 1 & -2 & -2 & 0 & mid & -3 3 & -3 & -3 & -1 & mid & -4

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada. Isso significa colocar a matriz em uma forma onde conseguimos identificar facilmente as soluções.
  1. Mantém-se a primeira linha como está.
  2. Subtrai-se 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  3. Subtrai-se a primeira linha da terceira linha.
  4. Subtrai-se 3 vezes a primeira linha da quarta linha.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & -1 & mid & 2 0 & -3 & -3 & 1 & mid & -5 0 & -3 & -3 & 1 & mid & -5 0 & -6 & -6 & 2 & mid & -10
Percebemos que a terceira linha é igual à segunda, e a quarta linha é o dobro da segunda, então podemos simplificar ainda mais:
Dividimos a segunda linha por -3:
1 & 1 & 1 & -1 & mid & 2 0 & 1 & 1 & -13 & mid & 53 0 & 0 & 0 & 0 & mid & 0 0 & 0 & 0 & 0 & mid & 0

Passo 4

Identificamos agora as variáveis livres e dependentes. As variáveis que não têm pivôs nas colunas correspondentes são livres.
  • Pivôs estão nas colunas de e , então e são variáveis dependentes.
  • e são variáveis livres, pois não há pivôs nessas colunas.

Passo 5

Vamos classificar o sistema. Como há infinitas soluções (existem variáveis livres), o sistema é indeterminado.

Passo 6

Finalmente, vamos resolver o sistema. Expressamos as variáveis dependentes em função das livres.
Da segunda linha da matriz escalonada:
y + z - 13w = 53
Isolando y = 53 - z + 13w :
x + y + z - w = 2
Da primeira linha:
x + ( 53 - z + 13w ) + z - w = 2
Substituindo x + 53 - z + 13w + z - w = 2 :
x + 53 - 23w = 2
Simplificando:
x = 2 - 53 + 23w = 13 + 23w
Os x = 13 + 23w y = 53 - z + 13w z = z w = w se cancelam:
Isolando :
Portanto, a solução geral do sistema é:

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, expressas em função das variáveis livres x = dfrac13 + dfrac23w y = dfrac53 - z + dfrac13w z = z w = w e :

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