Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(e)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema pede. Temos um sistema de equações lineares e precisamos:
Encontrar as matrizes , e a matriz aumentada .
Escalonar a matriz aumentada.
Identificar as variáveis livres e dependentes.
Classificar o sistema.
Resolver o sistema, se houver solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz x + 2y - z = 2 2x - 3y + z = 0 4x + y - z = 4 e o vetor A = 1 & 2 & -1 2 & -3 & 1 4 & 1 & -1 . O sistema é:
b = 2 0 4
A matriz [A mid b] = 1 & 2 & -1 & vert & 2 2 & -3 & 1 & vert & 0 4 & 1 & -1 & vert & 4 é formada pelos coeficientes das variáveis:
O vetor é a coluna dos termos constantes:
A matriz aumentada junta e :
Passo 3
Agora, vamos escalonar a matriz aumentada usando operações elementares para simplificar o sistema. O objetivo é chegar a uma forma triangular superior.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
1 & 2 & -1 & vert & 2 0 & -7 & 3 & vert & -4 0 & -7 & 3 & vert & -4
Percebemos que a terceira linha é igual à segunda, então podemos eliminá-la:
R3 = R3 - R2 Rightarrow 0 & 0 & 0 & vert & 0
A matriz escalonada final é:
1 & 2 & -1 & vert & 2 0 & -7 & 3 & vert & -4 0 & 0 & 0 & vert & 0
Passo 4
Vamos identificar as variáveis livres e dependentes. Observando a matriz escalonada:
A primeira equação envolve , , e .
A segunda equação envolve e .
A terceira equação não traz novas informações.
Como temos mais incógnitas do que equações independentes, uma das variáveis será livre. Geralmente, escolhemos a última variável () como livre.
Então:
é uma variável livre.
e serão variáveis dependentes.
Passo 5
Vamos classificar o sistema. Como temos infinitas soluções (uma variável livre) e as equações são consistentes, o sistema é:
Sistema compatível indeterminado
Passo 6
Finalmente, vamos resolver o sistema. Usando a matriz escalonada: x + 2y - z = 2 -7y + 3z = -4
Primeiro, resolvemos a segunda equação para -7y + 3z = -4 Rightarrow y = 3z + 47 : x + 2(3z + 47) - z = 2 x + 6z + 87 - z = 2 x = 2 - 6z + 87 + z x = 2 - 6z + 87 + 7z7 x = 2 + z - 87 x = 14 + z - 87 x = z + 67
Agora, substituímos x = z + 67 y = 3z + 47 z = z na primeira equação: x y z = t + 67 3t + 47 t , t in R
Portanto, as soluções são:
Podemos escrever a solução geral em termos de :
[
, \quad t \in \mathbb{R}
]
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, descritas por: