Encontre os valores de a para os quais o sistema linear
a) não possui solução;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores de l a x + y + z = a - x + a y + z = a x + y + a z = 0 para os quais o sistema linear abaixo não possui solução:
Esse problema envolve sistemas lineares e determinantes. Para resolver, vamos usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for zero, podemos ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo do sistema. Se for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = a & 1 & 1 -1 & a & 1 1 & 1 & a
Nosso objetivo é encontrar para quais valores de o determinante dessa matriz é zero, ou seja, . Isso porque, se o determinante for zero, o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a cdot a & 1 1 & a - 1 cdot -1 & 1 1 & a + 1 cdot -1 & a 1 & 1 :
a & 1 1 & a = a cdot a - 1 cdot 1 = a^2 - 1
Calculando cada menor:
-1 & 1 1 & a = (-1) cdot a - 1 cdot 1 = -a - 1
-1 & a 1 & 1 = (-1) cdot 1 - a cdot 1 = -1 - a
det(A) = a(a^2 - 1) - 1(-a - 1) + 1(-1 - a)
Substituindo de volta:
det(A) = a^3 - a + a + 1 - 1 - a = a^3 - a
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos que o determinante seja zero para que o sistema possa não ter solução:
a^3 - a = 0
Fatorando:
a(a^2 - 1) = 0
Novamente, fatorando a(a - 1)(a + 1) = 0 :
Passo 5
Resolvendo a equação:
a(a - 1)(a + 1) = 0
As soluções são:
a = 0, a = 1, a = -1
Resposta
Os valores de para os quais o sistema linear não possui solução são , e .