Resolva o sistema B X=3 X, onde
B=[llll 4 & 1 & 1 & 0 1 & 4 & 1 & 0 1 & 1 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver o sistema , onde é uma matriz dada. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os vetores que satisfazem essa igualdade, ou seja, os autovetores associados ao autovalor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (B - 3I)X = 0 . Isso pode ser reescrito como:
Aqui, é a matriz identidade , e subtrair de nos ajuda a encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor .

Passo 3

Vamos montar a matriz B - 3I = 4-3 & 1 & 1 & 0 1 & 4-3 & 1 & 0 1 & 1 & 4-3 & 0 0 & 0 & 0 & 4-3 = 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 :

Passo 4

Agora, precisamos resolver o sistema homogêneo x1 + x2 + x3 + 0x4 = 0 x1 + x2 + x3 + 0x4 = 0 x1 + x2 + x3 + 0x4 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 0 . Escrevendo isso em forma de equações:

Passo 5

Observamos que as três primeiras equações são iguais, e a última equação nos dá x1 + x2 + x3 = 0 x4 = 0 . Então, temos:

Passo 6

Para resolver esse sistema, vamos expressar algumas variáveis em termos das outras. Podemos escolher x1 = -x2 - x3 x4 = 0 e como variáveis livres. Assim:

Passo 7

Agora, vamos expressar o vetor X = x1 x2 x3 x4 = - x2 - x3 x2 x3 0 = x2 -1 1 0 0 + x3 -1 0 1 0 em termos das variáveis livres e :

Resposta

Os vetores solução são combinações lineares de -1 1 0 0 e -1 0 1 0 . Ou seja,
X = x2 -1 1 0 0 + x3 -1 0 1 0
onde e são números reais quaisquer.

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