Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver o sistema , onde é uma matriz dada. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os vetores que satisfazem essa igualdade, ou seja, os autovetores associados ao autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa (B - 3I)X = 0 . Isso pode ser reescrito como:
Aqui, é a matriz identidade , e subtrair de nos ajuda a encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor.
Agora, precisamos resolver o sistema homogêneo x1 + x2 + x3 + 0x4 = 0 x1 + x2 + x3 + 0x4 = 0 x1 + x2 + x3 + 0x4 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 0 . Escrevendo isso em forma de equações:
Passo 5
Observamos que as três primeiras equações são iguais, e a última equação nos dá x1 + x2 + x3 = 0 x4 = 0 . Então, temos:
Passo 6
Para resolver esse sistema, vamos expressar algumas variáveis em termos das outras. Podemos escolher x1 = -x2 - x3 x4 = 0 e como variáveis livres. Assim:
Passo 7
Agora, vamos expressar o vetor X = x1 x2 x3 x4 = - x2 - x3 x2 x3 0 = x2 -1 1 0 0 + x3 -1 0 1 0 em termos das variáveis livres e :
Resposta
Os vetores solução são combinações lineares de -1 1 0 0 e -1 0 1 0 . Ou seja,