Resolva o seguinte sistema de equaçōes lineares usando o método de Cramer:
l 3 x1+2 x2-x3=7 2 x1-x2+3 x3=4 x1+4 x2+2 x3=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Cramer. Esse método é uma técnica bacana da álgebra linear que nos permite encontrar as soluções de sistemas lineares usando determinantes. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso, então não se preocupa se ainda não está muito familiarizado com o assunto!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações do sistema:
3x1 + 2x2 - x3 = 7 2x1 - x2 + 3x3 = 4 x1 + 4x2 + 2x3 = 5
Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e .

Passo 3

O próximo passo é montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão multiplicando as incógnitas nas equações:
A = 3 & 2 & -1 2 & -1 & 3 1 & 4 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz |A| = 3 cdot -1 & 3 4 & 2 - 2 cdot 2 & 3 1 & 2 + (-1) cdot 2 & -1 1 & 4 , que vamos chamar de |A| = 3 cdot (-1 times 2 - 3 times 4) - 2 cdot (2 times 2 - 3 times 1) -1 cdot (2 times 4 - (-1) times 1) . O determinante nos ajuda a verificar se o sistema tem solução única e também será usado para encontrar as soluções das incógnitas.
|A| = 3 cdot (-2 - 12) - 2 cdot (4 - 3) -1 cdot (8 + 1)
Calculando os menores:
|A| = 3 cdot (-14) - 2 cdot (1) -1 cdot (9)
|A| = -42 -2 -9 = -53

Passo 5

Agora, vamos encontrar o determinante para A1 = 7 & 2 & -1 4 & -1 & 3 5 & 4 & 2 , que chamaremos de |A1| = 7 cdot -1 & 3 4 & 2 - 2 cdot 4 & 3 5 & 2 + (-1) cdot 4 & -1 5 & 4 . Para isso, substituímos a primeira coluna da matriz |A1| = 7 cdot (-1 times 2 - 3 times 4) - 2 cdot (4 times 2 - 3 times 5) -1 cdot (4 times 4 - (-1) times 5) pelos termos constantes do sistema (7, 4, 5):
|A1| = 7 cdot (-2 -12) - 2 cdot (8 -15) -1 cdot (16 +5)
Calculando o determinante |A1| = 7 cdot (-14) -2 cdot (-7) -1 cdot 21 :
|A1| = -98 +14 -21 = -105

Passo 6

Usando o Método de Cramer, x1 = |A1||A| = -105-53 = 10553 approx 1,981 é dado por:

Passo 7

Vamos repetir o processo para encontrar A2 = 3 & 7 & -1 2 & 4 & 3 1 & 5 & 2 . Substituímos a segunda coluna da matriz |A2| = 3 cdot 4 & 3 5 & 2 - 7 cdot 2 & 3 1 & 2 + (-1) cdot 2 & 4 1 & 5 pelos termos constantes:
|A2| = 3 cdot (4 times 2 - 3 times 5) -7 cdot (2 times 2 - 3 times1) -1 cdot (2 times5 -4 times1)
Calculando o determinante |A2| = 3 cdot (8 -15) -7 cdot (4 -3) -1 cdot (10 -4) :
|A2| = 3 cdot (-7) -7 cdot (1) -1 cdot 6
|A2| = -21 -7 -6 = -34
x2 = |A2||A| = -34-53 = 3453 approx 0,642
Então,

Passo 8

Finalmente, vamos encontrar A3 = 3 & 2 & 7 2 & -1 & 4 1 & 4 & 5 . Substituímos a terceira coluna da matriz |A3| = 3 cdot -1 & 4 4 & 5 - 2 cdot 2 & 4 1 & 5 + 7 cdot 2 & -1 1 & 4 pelos termos constantes:
|A3| = 3 cdot (-1 times 5 -4 times4) -2 cdot (2 times5 -4 times1) +7 cdot (2 times4 - (-1) times1)
Calculando o determinante |A3| = 3 cdot (-5 -16) -2 cdot (10 -4) +7 cdot (8 +1) :
|A3| = 3 cdot (-21) -2 cdot 6 +7 cdot 9
|A3| = -63 -12 +63 = -12
x3 = |A3||A| = -12-53 = 1253 approx 0,226
Então,

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 10553 approx 1,981
x2 = 3453 approx 0,642
x3 = 1253 approx 0,226

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