Determinar uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços do .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço . Esse é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma base e como determinar a dimensão de um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . O conjunto inclui todos os vetores em onde a terceira coordenada é igual a zero. Ou seja, é formado por vetores da forma .
Passo 3
Agora, para encontrar uma base de , precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Olhando para os vetores e , vemos que eles são parte de e são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos verificar se esses vetores realmente geram . Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e :
Isso confirma que gera .
Passo 5
Como encontramos uma base com dois vetores linearmente independentes que geram , concluímos que a dimensão de é 2.