Determinar uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
. Esse é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma base e como determinar a dimensão de um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O conjunto
inclui todos os vetores em
onde a terceira coordenada
é igual a zero. Ou seja,
é formado por vetores da forma
.
Passo 3
Agora, para encontrar uma base de
, precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço
. Olhando para os vetores
e
, vemos que eles são parte de
e são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos verificar se esses vetores realmente geram
. Qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
:
Isso confirma que
gera
.
Passo 5
Como encontramos uma base com dois vetores linearmente independentes que geram
, concluímos que a dimensão de
é 2.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 2.