Determinar uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços do .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço . Esse é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma base e como determinar a dimensão de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O conjunto inclui todos os vetores em onde a terceira coordenada é igual a zero. Ou seja, é formado por vetores da forma .

Passo 3

Agora, para encontrar uma base de , precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Olhando para os vetores e , vemos que eles são parte de e são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos verificar se esses vetores realmente geram . Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e :
Isso confirma que gera .

Passo 5

Como encontramos uma base com dois vetores linearmente independentes que geram , concluímos que a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados: eixo normal: , uma das assíntotas comprimento do latus rectum igual a 3.
Resolver o sistema por Eliminação de Gauss-Jordan (matriz aumentada na forma escalonada reduzida):
Resolva o seguinte sistema de equaçōes lineares usando o método de Cramer:
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores forma uma base ortogonal do . Construir uma base ortonormal a partir das bases ortogonais encontradas.