Determinar uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços do R^3.
W=(x, y, z) in R^3 / z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço . Esse é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma base e como determinar a dimensão de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O conjunto inclui todos os vetores em onde a terceira coordenada é igual a zero. Ou seja, é formado por vetores da forma .

Passo 3

Agora, para encontrar uma base de , precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Olhando para os vetores e , vemos que eles são parte de e são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos verificar se esses vetores realmente geram (x, y, 0) = x cdot (1, 0, 0) + y cdot (0, 1, 0) . Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e :
Isso confirma que gera .

Passo 5

Como encontramos uma base com dois vetores linearmente independentes que geram , concluímos que a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

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