Um quadrado
tem a diagonal
contida na reta
. Sabendo que
, determine os vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente tem um quadrado
e a diagonal
está na reta
que é definida por
e
. A gente sabe que o ponto
está na origem, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, vetores e propriedades dos quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta
. Isso significa que qualquer ponto nessa reta tem a coordenada
e
igual a
. Então, podemos representar um ponto genérico dessa reta como
, onde
é um parâmetro real que representa diferentes pontos na reta.
Passo 3
Sabemos que
está na reta
. Então, os pontos
e
estão nessa reta. Vamos chamar
e
, onde
e
são parâmetros que precisamos determinar.
Passo 4
Como
é um quadrado, as diagonais se cruzam no ponto médio. O ponto médio de
também deve ser o ponto médio de
. Sabemos que
, vamos chamar
. O ponto médio de
é
. O ponto médio de
é
.
Passo 5
Igualando os pontos médios de
e
, temos:
Isso nos dá
,
e
.
Passo 6
Agora, vamos usar a propriedade de que as diagonais de um quadrado são perpendiculares e de mesmo comprimento. A diagonal
tem o vetor
. A diagonal
tem o vetor
.
Passo 7
Para serem perpendiculares, o produto escalar deve ser zero:
Simplificando:
Então, ou
ou
.
Passo 8
Se
, então
. Mas isso faria com que
e
fossem o mesmo ponto, o que não pode acontecer em um quadrado. Portanto, temos
, ou seja,
.
Passo 9
Com
, o vetor
. A magnitude desse vetor é:
A diagonal
tem comprimento igual à diagonal
, então:
Portanto,
dá
.
Passo 10
Com
, temos
. Assim:
E como
,
, e
, então:
Resposta
Os vértices são: