Um quadrado A B C D tem a diagonal B D contida na reta r:lx=1 y=z. Sabendo que A=(0,0,0), determine os vértices B, C, D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente tem um quadrado ABCD e a diagonal BD está na reta r que é definida por x=1 e y=z. A gente sabe que o ponto A está na origem, ou seja, A = (0,0,0). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos pontos B, C e D. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, vetores e propriedades dos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r: lx=1 y=z. Isso significa que qualquer ponto nessa reta tem a coordenada x=1 e y igual a z. Então, podemos representar um ponto genérico dessa reta como (1, t, t), onde t é um parâmetro real que representa diferentes pontos na reta.

Passo 3

Sabemos que BD está na reta r. Então, os pontos B e D estão nessa reta. Vamos chamar B = (1, t, t) e D = (1, s, s), onde t e s são parâmetros que precisamos determinar.

Passo 4

Como ABCD é um quadrado, as diagonais se cruzam no ponto médio. O ponto médio de BD também deve ser o ponto médio de AC. Sabemos que A = (0,0,0), vamos chamar C = (c1, c2, c3). O ponto médio de AC é (c12, c22, c32). O ponto médio de BD é (1, t+s2, t+s2).

Passo 5

Igualando os pontos médios de AC e BD, temos:
c12 = 1, c22 = t+s2, c32 = t+s2
Isso nos dá c1 = 2, c2 = t+s e c3 = t+s.

Passo 6

Agora, vamos usar a propriedade de que as diagonais de um quadrado são perpendiculares e de mesmo comprimento. A diagonal BD tem o vetor BD = D - B = (0, s - t, s - t). A diagonal AC tem o vetor AC = C - A = (2, t+s, t+s).

Passo 7

Para serem perpendiculares, o produto escalar deve ser zero:
BD cdot AC = 0 cdot 2 + (s - t)(t + s) + (s - t)(t + s) = 0
Simplificando:
0 + (s - t)(t + s) + (s - t)(t + s) = 0 2(s - t)(t + s) = 0
Então, ou s - t = 0 ou t + s = 0.

Passo 8

Se s - t = 0, então s = t. Mas isso faria com que B e D fossem o mesmo ponto, o que não pode acontecer em um quadrado. Portanto, temos t + s = 0, ou seja, s = -t.

Passo 9

Com s = -t, o vetor BD = (0, -2t, -2t). A magnitude desse vetor é:
|BD| = raiz0^2 + (-2t)^2 + (-2t)^2 = raiz0 + 4t^2 + 4t^2 = raiz8t^2 = 2traiz2
A diagonal AC tem comprimento igual à diagonal BD, então:
|AC| = raiz2^2 + (t+s)^2 + (t+s)^2 = raiz4 + (0)^2 + (0)^2 = 2
Portanto, 2traiz2 = 2 t = 1raiz2.

Passo 10

Com t = 1raiz2, temos s = -1raiz2. Assim:
B = (1, 1raiz2, 1raiz2) D = (1, -1raiz2, -1raiz2)
E como c1 = 2, c2 = t + s = 0, e c3 = t + s = 0, então:
C = (2, 0, 0)

Resposta

Os vértices são:
B = (1, 1raiz2, 1raiz2), C = (2, 0, 0), D = (1, -1raiz2, -1raiz2)

Exercícios relacionados