Um quadrado tem a diagonal contida na reta . Sabendo que , determine os vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria no espaço! A gente tem um quadrado e a diagonal está na reta que é definida por e . A gente sabe que o ponto está na origem, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, vetores e propriedades dos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta . Isso significa que qualquer ponto nessa reta tem a coordenada e igual a . Então, podemos representar um ponto genérico dessa reta como , onde é um parâmetro real que representa diferentes pontos na reta.

Passo 3

Sabemos que está na reta . Então, os pontos e estão nessa reta. Vamos chamar e , onde e são parâmetros que precisamos determinar.

Passo 4

Como é um quadrado, as diagonais se cruzam no ponto médio. O ponto médio de também deve ser o ponto médio de . Sabemos que , vamos chamar . O ponto médio de é . O ponto médio de é .

Passo 5

Igualando os pontos médios de e , temos:
Isso nos dá , e .

Passo 6

Agora, vamos usar a propriedade de que as diagonais de um quadrado são perpendiculares e de mesmo comprimento. A diagonal tem o vetor . A diagonal tem o vetor .

Passo 7

Para serem perpendiculares, o produto escalar deve ser zero:
Simplificando:
Então, ou ou .

Passo 8

Se , então . Mas isso faria com que e fossem o mesmo ponto, o que não pode acontecer em um quadrado. Portanto, temos , ou seja, .

Passo 9

Com , o vetor . A magnitude desse vetor é:
A diagonal tem comprimento igual à diagonal , então:
Portanto, .

Passo 10

Com , temos . Assim:
E como , , e , então:

Resposta

Os vértices são:

Exercícios relacionados

Determine uma equação da elipse, com excentricidade e e cujos focos coincidem com os vértices da hipérbole
Determine o dominio das funções vetoriais.
a)
b)
Sejam e . O conjunto é uma base de ?
Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados.
(1) focos e e comprimento do eixo transverso igual a 4,
(2) vértice e e comprimento do latus rectum igual a 5 ,
(3) focos e e comprimento do eixo conjugado igual a 24,
(4) centro , um dos focos e um dos vértices ,
(5) assintotas e e um dos vértices ,
(6) um dos focos , eixo normal e excentricidade ,
(7) eixo normal , uma das assintotas : e latus rectum de comprimento 3 ,
(8) focos e e parâmetro .