Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados:
f) um dos focos
, eixo normal:
e excentricidade
;
f) um dos focos
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação de uma hipérbole sabendo que temos um dos focos em
, o eixo normal é
e a excentricidade é
. Então, vamos usar conceitos de geometria das cônicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a excentricidade
de uma hipérbole é a razão entre a distância dos focos
e a distância entre os vértices
, ou seja,
. Aqui,
, então
.
Passo 3
Sabemos que o eixo normal é a linha que passa pela origem e é perpendicular ao eixo principal da hipérbole. Como o eixo normal é
, a inclinação do eixo principal será perpendicular a isso, ou seja, com inclinação
.
Passo 4
Vamos definir um sistema de coordenadas onde o eixo principal da hipérbole coincide com a linha
. Para isso, faremos uma rotação de 45 graus no sentido anti-horário. As fórmulas de rotação são:
Passo 5
No novo sistema de coordenadas
, a equação da hipérbole será na forma padrão:
Sabemos que
e, para hipérboles,
. Substituindo
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Para isso, vamos usar a posição do foco
. No sistema rotacionado, o foco estará em
, ou seja,
.
Convertendo o foco para o sistema rotacionado:
Então,
.
Passo 7
Com
, calculamos
.
Passo 8
Agora, escrevemos a equação da hipérbole no sistema rotacionado:
Multiplicando toda a equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando por 16:
Passo 9
Agora, revertendo a rotação para voltar ao sistema de coordenadas original
, substituímos
e
:
Expandindo os termos:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Resposta
A equação da hipérbole é
.