Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados:
f) um dos focos F(2 raiz2, 2 raiz2), eixo normal: y=-x e excentricidade e=3 / 2;
9 x^2+162 x y+9 y^2-640=0

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação de uma hipérbole sabendo que temos um dos focos em , o eixo normal é e a excentricidade é . Então, vamos usar conceitos de geometria das cônicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a excentricidade de uma hipérbole é a razão entre a distância dos focos e a distância entre os vértices , ou seja, . Aqui, , então .

Passo 3

Sabemos que o eixo normal é a linha que passa pela origem e é perpendicular ao eixo principal da hipérbole. Como o eixo normal é , a inclinação do eixo principal será perpendicular a isso, ou seja, com inclinação .

Passo 4

Vamos definir um sistema de coordenadas onde o eixo principal da hipérbole coincide com a linha x' = x + yraiz2 y' = -x + yraiz2 . Para isso, faremos uma rotação de 45 graus no sentido anti-horário. As fórmulas de rotação são:

Passo 5

No novo sistema de coordenadas y'^2a^2 - x'^2b^2 = 1 , a equação da hipérbole será na forma padrão:
(32a)^2 = a^2 + b^2 94a^2 = a^2 + b^2 b^2 = 94a^2 - a^2 = 54a^2
Sabemos que e, para hipérboles, . Substituindo :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de x' = 2raiz2 + 2raiz2raiz2 = 4raiz2raiz2 = 4 y' = -2raiz2 + 2raiz2raiz2 = 0 e . Para isso, vamos usar a posição do foco . No sistema rotacionado, o foco estará em , ou seja, .
Convertendo o foco para o sistema rotacionado:
Então, .

Passo 7

Com , calculamos .

Passo 8

Agora, escrevemos a equação da hipérbole no sistema rotacionado:
y'^2(83)^2 - x'^2809 = 1 y'^2649 - x'^2809 = 1 9y'^264 - 9x'^280 = 1 9y'^264 - 9x'^280 - 1 = 0
Multiplicando toda a equação por 9 times 80 times y'^2 - 9 times 64 times x'^2 - 5120 = 0 720y'^2 - 576x'^2 - 5120 = 0 para eliminar os denominadores:
45y'^2 - 36x'^2 - 320 = 0
Simplificando por 16:

Passo 9

Agora, revertendo a rotação para voltar ao sistema de coordenadas original 45(-x + yraiz2)^2 - 36(x + yraiz2)^2 - 320 = 0 , substituímos 45(x^2 - 2xy + y^22) - 36(x^2 + 2xy + y^22) - 320 = 0 452(x^2 - 2xy + y^2) - 362(x^2 + 2xy + y^2) - 320 = 0 45x^2 - 90xy + 45y^2 - 36x^2 - 72xy - 36y^22 - 320 = 0 9x^2 - 162xy + 9y^22 - 320 = 0 e 9x^2 - 162xy + 9y^2 - 640 = 0 :
Expandindo os termos:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Resposta

A equação da hipérbole é .

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