Determine os números
e
de modo que
dado por
tenha como núcleo a reta
e como imagem a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A questão pede para encontrarmos os números
e
na transformação
definida por
. Precisamos fazer com que o núcleo (onde
) seja a reta
e a imagem seja a reta
. Vamos precisar usar conceitos de núcleo e imagem de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o núcleo de
seja a reta
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem
. Então, temos:
Como queremos que isso seja verdadeiro quando
, substituímos
por
:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo
, devemos ter:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a imagem de
seja a reta
. A imagem de
é o conjunto de todos os vetores
que podem ser obtidos a partir de
:
Usando
e
, temos:
Isso mostra que
. Como queremos que
, temos:
E, consequentemente:
Passo 4
Agora, podemos escolher um valor para
para simplificar. Vamos escolher
:
Resposta
Os números que satisfazem as condições são
,
,
e
.