Determine os números a, b, c e d de modo que T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(a x+b y, c x+d y) tenha como núcleo a reta y=x e como imagem a reta y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A questão pede para encontrarmos os números e na transformação definida por . Precisamos fazer com que o núcleo (onde ) seja a reta e a imagem seja a reta . Vamos precisar usar conceitos de núcleo e imagem de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o núcleo de a x + b y = 0 c x + d y = 0 seja a reta a x + b x = 0 c x + d x = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores (a + b) x = 0 (c + d) x = 0 que satisfazem a + b = 0 e c + d = 0 . Então, temos:
b = -a e d = -c
Como queremos que isso seja verdadeiro quando , substituímos por :
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , devemos ter:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a imagem de (u, v) = (a x + b y, c x + d y) seja a reta u = a x - a y = a(x - y) v = c x - c y = c(x - y) . A imagem de ca = 2 Rightarrow c = 2a é o conjunto de todos os vetores d = -c = -2a que podem ser obtidos a partir de :
Usando e , temos:
Isso mostra que . Como queremos que , temos:
E, consequentemente:

Passo 4

Agora, podemos escolher um valor para a = 1 b = -a = -1 c = 2a = 2 d = -2a = -2 para simplificar. Vamos escolher :

Resposta

Os números que satisfazem as condições são , , e .

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