Mostre que os vetores são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente mostrar que os vetores , e são linearmente independentes. Isso entra no conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de independência linear. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que explore se uma combinação linear desses vetores pode resultar no vetor zero só quando todos os coeficientes forem zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independente. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a , b e c satisfazem a equação:
então a única solução deve ser , e .
Passo 3
Vamos montar essa equação de combinação linear:
Isso dá um sistema de quatro equações:
Passo 4
Agora, temos que resolver esse sistema para encontrar os valores de , e . Se a única solução for , , e , então os vetores são linearmente independentes.
Vamos resolver passo a passo.
Passo 5
Primeira equação:
6a = 0 Rightarrow a = 0
Ótimo, já sabemos que .
Passo 6
Segunda equação com 2(0) + 5b = 0 Rightarrow 5b = 0 Rightarrow b = 0 :
Agora, sabemos que .
Passo 7
Terceira equação com 3(0) - 3(0) + 7c = 0 Rightarrow 7c = 0 Rightarrow c = 0 e :