Seja V= conjunto das matrizes simétricas 2 times 2 de elementos reais munido das operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Mostre que dim V=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e dimensão. Vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e como determinar a dimensão de um espaço vetorial, que aqui é o conjunto das matrizes simétricas com números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A = a & b c & d é simétrica se ela é igual à sua transposta. Ou seja, se temos uma matriz:
A = a & b b & d
Para ser simétrica, precisamos que , o que significa que . Então, uma matriz simétrica tem a seguinte forma:
Aqui, os elementos , e são números reais.

Passo 3

Agora, para determinar a dimensão do espaço a & b b & d = a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 das matrizes simétricas A1 = 1 & 0 0 & 0 , A2 = 0 & 1 1 & 0 , A3 = 0 & 0 0 & 1 , precisamos encontrar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço .
Vamos identificar matrizes que podem servir como base para . Observando a forma geral da matriz simétrica acima, vemos que podemos escrever qualquer matriz em como uma combinação linear de três matrizes específicas:
Então, as matrizes:
formam uma base para .

Passo 4

Finalmente, precisamos confirmar que essas três matrizes são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz nula é aquela onde todos os coeficientes são zero:
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá o sistema:
c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0
Como a única solução é , as matrizes , e são linearmente independentes. Portanto, elas formam uma base para e o número de matrizes na base nos dá a dimensão de .

Resposta

A dimensão de é .

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