Seja
conjunto das matrizes simétricas
de elementos reais munido das operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e dimensão. Vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e como determinar a dimensão de um espaço vetorial, que aqui é o conjunto das matrizes simétricas
com números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta. Ou seja, se temos uma matriz:
Para ser simétrica, precisamos que
, o que significa que
. Então, uma matriz simétrica
tem a seguinte forma:
Aqui, os elementos
,
e
são números reais.
Passo 3
Agora, para determinar a dimensão do espaço
das matrizes simétricas
, precisamos encontrar uma base para
. Uma base é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
.
Vamos identificar matrizes que podem servir como base para
. Observando a forma geral da matriz simétrica acima, vemos que podemos escrever qualquer matriz em
como uma combinação linear de três matrizes específicas:
Então, as matrizes:
formam uma base para
.
Passo 4
Finalmente, precisamos confirmar que essas três matrizes são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta na matriz nula é aquela onde todos os coeficientes são zero:
Isso nos dá o sistema:
Como a única solução é
, as matrizes
,
e
são linearmente independentes. Portanto, elas formam uma base para
e o número de matrizes na base nos dá a dimensão de
.
Resposta
A dimensão de
é
.