Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
d) eixo focal paralelo a Oy e os pontos P(0,0), Q(1,-3) e R(-4,-8) pertencem ao sue gráfico;
-(y-1)=(x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação de uma parábola que tem o eixo focal paralela ao eixo y (Oy). Além disso, sabemos que os pontos P(0,0), Q(1,-3) e R(-4,-8) estão na parábola. Para resolver isso, vamos usar a fórmula geral da parábola com eixo vertical e substituir os pontos para descobrir os parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma da equação de uma parábola com eixo paralelo ao Oy. Ela é geralmente escrita como:
(y - k) = a(x - h)^2
onde é o vértice da parábola e determina a abertura e a direção da parábola.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de 0 - k = a(0 - h)^2 Rightarrow -k = a h^2 , -3 - k = a(1 - h)^2 e -8 - k = a(-4 - h)^2 . Vamos usar os pontos que estão na parábola para isso. Substituindo cada ponto na equação:
Para o ponto P(0,0):
Para o ponto Q(1,-3):
Para o ponto R(-4,-8):

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações:
- k = a h^2 -3 - k = a(1 - h)^2 -8 - k = a(-4 - h)^2
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar k = -a h^2 :
-3 + a h^2 = a(1 - h)^2
Substituindo -8 + a h^2 = a(-4 - h)^2 nas outras equações:
-3 + a h^2 = a(1 - 2h + h^2) Rightarrow -3 = a(1 - 2h)
a = -31 - 2h
Simplificando a primeira equação:
k = -(-1)(-1)^2 = -1
Daí:
Agora, substituímos na segunda equação e resolvemos para . Após resolver, encontramos que e . Então, substituindo de volta para encontrar :

Passo 5

Agora que temos (y - (-1)) = -1(x - (-1))^2 , y + 1 = - (x + 1)^2 e -(y + 1) = (x + 1)^2 , substituímos na equação geral:
Simplificando:
Ou, rearranjando:

Resposta

A equação da parábola é:
-(y - 1) = (x + 1)^2

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