Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
g) eixo focal Oy e o ponto L(2,2) é uma das extremidades do latus rectum.
4(y-1)=x^2 ou -4(y-3)=x^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação de uma parábola. Sabemos que o eixo focal é o eixo y (Oy) e que o ponto é uma das extremidades do latus rectum. Para resolver, vamos usar propriedades das parábolas e fórmulas matemáticas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma parábola com eixo focal Oy, a equação geral é da forma , onde é o vértice e é o parâmetro que indica a distância do vértice ao foco.

Passo 3

Sabemos que o latus rectum é o segmento de reta que passa pelo foco e é paralelo à directriz, com comprimento igual a . Cada extremidade do latus rectum está a uma distância acima e abaixo do vértice ao longo do eixo y.

Passo 4

Como o ponto 4p(y - k) = (x - h)^2 Rightarrow 4p(2 - k) = (2 - h)^2 é uma das extremidades do latus rectum, podemos usá-lo para encontrar o valor de . Sabemos que a coordenada x de é 2, então temos:

Passo 5

Assumindo que o vértice está na origem 4p(2 - 0) = (2 - 0)^2 Rightarrow 8p = 4 Rightarrow p = 12 para simplificar, temos e . Substituindo na equação:

Passo 6

Agora que encontramos 4 times 12 times y = x^2 Rightarrow 2y = x^2 Rightarrow y = x^22 , substituímos de volta na equação geral:

Resposta

A equação da parábola é .

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