Determine os valores de a e b que tornam o sistema abaixo: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
x+a y+r & =3 2 x+(2 a+1) y+(2 b+a) z & =b+6 x+(a+2) y+(3 a+b) z & =3 b+3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas x + a y + z &= 3 2x + (2a + 1)y + (2b + a)z &= b + 6 x + (a + 2)y + (3a + b)z &= 3b + 3 , e :
Queremos encontrar os valores de e que fazem esse sistema ser:
  • Possível e determinado: Há uma única solução.
  • Possível e indeterminado: Há infinitas soluções.
  • Impossível: Não há solução.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema, que é:
A = 1 & a & 1 2 & 2a + 1 & 2b + a 1 & a + 2 & 3a + b
E o vetor dos termos constantes:
B = 3 b + 6 3b + 3

Passo 3

Para determinar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero ( ), o sistema é possível e determinado. Se for zero ( ), precisamos verificar a consistência do sistema para saber se é indeterminado ou impossível.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot ( (2a + 1)(3a + b) - (2b + a)(a + 2) ) - a cdot ( 2(3a + b) - (2b + a)(1) ) + 1 cdot ( 2(a + 2) - (2a + 1)(1) ) :
(2a + 1)(3a + b) = 6a^2 + 2ab + 3a + b
Vamos simplificar passo a passo:
Primeiro, expandir os menores:
(2b + a)(a + 2) = 2b a + 4b + a^2 + 2a
(2a + 1)(3a + b) - (2b + a)(a + 2) = (6a^2 + 2ab + 3a + b) - (a^2 + 2ab + 4b + 2a) = 5a^2 + a - 3b
Então:
2(3a + b) - (2b + a)(1) = 6a + 2b - 2b - a = 5a
Agora, o segundo menor:
2(a + 2) - (2a + 1)(1) = 2a + 4 - 2a - 1 = 3
E o terceiro menor:
det(A) = 1 cdot (5a^2 + a - 3b) - a cdot (5a) + 1 cdot 3 = 5a^2 + a - 3b - 5a^2 + 3 = a - 3b + 3
Agora, substituindo de volta:
det(A) = a - 3b + 3
Então:

Passo 5

Agora analisamos o determinante:
  • Se a = 3b - 3 , ou seja, , o sistema é possível e determinado.
  • Se , ou seja, , precisamos verificar se o sistema é possível e indeterminado ou impossível.
Vamos resolver a equação para relacionar e :

Passo 6

Quando x + (3b - 3)y + z = 3 , o determinante é zero. Agora precisamos verificar a consistência do sistema. Para isso, vamos substituir 2x + [2(3b - 3) + 1]y + [2b + (3b - 3)]z = b + 6 2x + (6b - 6 + 1)y + (5b - 3)z = b + 6 2x + (6b - 5)y + (5b - 3)z = b + 6 nas equações e verificar se há uma relação inconsistente.
Substituindo x + [(3b - 3) + 2]y + [3(3b - 3) + b]z = 3b + 3 x + (3b - 1)y + (9b - 9 + b)z = 3b + 3 x + (3b - 1)y + (10b - 9)z = 3b + 3 nas equações:
1ª equação:
x = 3 - (3b - 3)y - z = 3 - 3b y + 3 y - z
2ª equação:
3ª equação:
Agora, temos um sistema com duas variáveis ( e ) se considerarmos em termos de e . Precisamos verificar se há infinitas soluções ou nenhuma.
Para simplificar, vamos expressar da primeira equação:
Substituindo nas outras equações e resolvendo para e , veremos que há condições que permitem infinitas soluções, indicando que o sistema é possível e indeterminado.

Resposta

Os valores de e que tornam o sistema:
  • Possível e determinado quando .
  • Possível e indeterminado quando .
Não há condições que tornem o sistema impossível.

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