Determine os valores de e que tornam o sistema abaixo: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas x + a y + z &= 3 2x + (2a + 1)y + (2b + a)z &= b + 6 x + (a + 2)y + (3a + b)z &= 3b + 3 , e :
Queremos encontrar os valores de e que fazem esse sistema ser:
Possível e determinado: Há uma única solução.
Possível e indeterminado: Há infinitas soluções.
Impossível: Não há solução.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema, que é:
A = 1 & a & 1 2 & 2a + 1 & 2b + a 1 & a + 2 & 3a + b
E o vetor dos termos constantes:
B = 3 b + 6 3b + 3
Passo 3
Para determinar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero (), o sistema é possível e determinado. Se for zero (), precisamos verificar a consistência do sistema para saber se é indeterminado ou impossível.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot ( (2a + 1)(3a + b) - (2b + a)(a + 2) ) - a cdot ( 2(3a + b) - (2b + a)(1) ) + 1 cdot ( 2(a + 2) - (2a + 1)(1) ) :
det(A) = 1 cdot (5a^2 + a - 3b) - a cdot (5a) + 1 cdot 3 = 5a^2 + a - 3b - 5a^2 + 3 = a - 3b + 3
Agora, substituindo de volta:
det(A) = a - 3b + 3
Então:
Passo 5
Agora analisamos o determinante:
Se a = 3b - 3 , ou seja, , o sistema é possível e determinado.
Se , ou seja, , precisamos verificar se o sistema é possível e indeterminado ou impossível.
Vamos resolver a equação para relacionar e :
Passo 6
Quando x + (3b - 3)y + z = 3 , o determinante é zero. Agora precisamos verificar a consistência do sistema. Para isso, vamos substituir 2x + [2(3b - 3) + 1]y + [2b + (3b - 3)]z = b + 6 2x + (6b - 6 + 1)y + (5b - 3)z = b + 6 2x + (6b - 5)y + (5b - 3)z = b + 6 nas equações e verificar se há uma relação inconsistente.
Agora, temos um sistema com duas variáveis ( e ) se considerarmos em termos de e . Precisamos verificar se há infinitas soluções ou nenhuma.
Para simplificar, vamos expressar da primeira equação:
Substituindo nas outras equações e resolvendo para e , veremos que há condições que permitem infinitas soluções, indicando que o sistema é possível e indeterminado.