Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
b) foco F(-1,1) e vértice V(0,0);
x^2+2 x y+y^2+8 x-8 y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Precisamos encontrar a equação de uma parábola sabendo que o foco é e o vértice é . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica relacionados às parábolas, especialmente a definição que envolve o foco e a diretriz, além da forma padrão da equação da parábola.

Passo 2

Sabemos que o vértice da parábola é . A posição do foco nos dá uma ideia da orientação da parábola. Como o foco não está alinhado puramente na horizontal ou vertical em relação ao vértice, podemos concluir que a parábola está inclinada.

Passo 3

Para encontrar a equação da parábola inclinada, podemos usar a definição de parábola: o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Primeiro, precisamos encontrar a equação da diretriz. Sabemos que a diretriz é uma reta que está na mesma distância do vértice que o foco, mas no lado oposto.

Passo 4

Calculando a distância entre o vértice d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = raiz(-1-0)^2 + (1-0)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 e o foco , usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Então, a distância do vértice à diretriz também será .

Passo 5

Determinado que a diretriz está a unidades do vértice, precisamos encontrar a orientação dessa diretriz. Como o foco está em , a diretriz será a reta perpendicular ao segmento que liga o vértice ao foco. A inclinação desse segmento é , então a inclinação da diretriz será o negativo do inverso, ou seja, .

Passo 6

A equação da diretriz, sabendo que ela está a y = x + k unidades do vértice e tem inclinação y = x - raiz2 , pode ser escrita como:
Para encontrar , usamos a distância perpendicular . Sabendo que a diretriz está na direção contrária ao foco, substituímos e encontramos . Portanto, a equação da diretriz é:

Passo 7

Agora, usamos a definição da parábola: a distância de qualquer ponto raiz(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = |y - x + raiz2|raiz1^2 + (-1)^2 = |y - x + raiz2|raiz2 na parábola ao foco é igual à distância desse ponto à diretriz. Escrevemos isso matematicamente:
(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (y - x + raiz2)^22
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 8

Expandindo ambos os lados:
x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + x^2 + 2xy - 2yraiz2 + 2xraiz2 + 22
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2x^2 + 4x + 2 + 2y^2 - 4y + 2 = y^2 + x^2 + 2xy - 2yraiz2 + 2xraiz2 + 2

Passo 9

Reorganizando os termos:
2x^2 + 4x + 2y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy - 2yraiz2 + 2xraiz2 + 2
Subtraindo x^2 + 4x + y^2 - 4y + 2 = 2xy - 2yraiz2 + 2xraiz2 de ambos os lados:

Passo 10

Finalmente, agrupando os termos:
x^2 + y^2 + 4x - 4y + 2 - 2xy + 2yraiz2 - 2xraiz2 = 0
Esta é a equação geral da parábola com foco em e vértice em .

Resposta

A equação da parábola é:
x^2 + y^2 + 4x - 4y - 2xy + 2raiz2y - 2raiz2x + 2 = 0

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