Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
b) foco
e vértice
;
b) foco
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Precisamos encontrar a equação de uma parábola sabendo que o foco é
e o vértice é
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica relacionados às parábolas, especialmente a definição que envolve o foco e a diretriz, além da forma padrão da equação da parábola.
Passo 2
Sabemos que o vértice da parábola é
. A posição do foco
nos dá uma ideia da orientação da parábola. Como o foco não está alinhado puramente na horizontal ou vertical em relação ao vértice, podemos concluir que a parábola está inclinada.
Passo 3
Para encontrar a equação da parábola inclinada, podemos usar a definição de parábola: o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Primeiro, precisamos encontrar a equação da diretriz. Sabemos que a diretriz é uma reta que está na mesma distância do vértice que o foco, mas no lado oposto.
Passo 4
Calculando a distância entre o vértice
e o foco
, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Então, a distância do vértice à diretriz também será
.
Passo 5
Determinado que a diretriz está a
unidades do vértice, precisamos encontrar a orientação dessa diretriz. Como o foco está em
, a diretriz será a reta perpendicular ao segmento que liga o vértice ao foco. A inclinação desse segmento é
, então a inclinação da diretriz será o negativo do inverso, ou seja,
.
Passo 6
A equação da diretriz, sabendo que ela está a
unidades do vértice e tem inclinação
, pode ser escrita como:
Para encontrar
, usamos a distância perpendicular
. Sabendo que a diretriz está na direção contrária ao foco, substituímos e encontramos
. Portanto, a equação da diretriz é:
Passo 7
Agora, usamos a definição da parábola: a distância de qualquer ponto
na parábola ao foco é igual à distância desse ponto à diretriz. Escrevemos isso matematicamente:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Expandindo ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Passo 9
Reorganizando os termos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 10
Finalmente, agrupando os termos:
Esta é a equação geral da parábola com foco em
e vértice em
.
Resposta
A equação da parábola é: