Resolver o sistema 2 X+3 Y=A, 5 X-2 Y=B, com X, Y in M2 times 2, em que A=[cc-5 & 3 16 & -6] e B= [cc16 & -40 21 & 23]. Rpta.: X=[cc2 & -6 5 & 3] e Y=[cc-3 & 5 2 & -4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de matrizes juntos! O enunciado pede para achar as matrizes 2X + 3Y = A e 5X - 2Y = B e que satisfazem as equações:
Já temos as matrizes e definidas, e estamos trabalhando com matrizes . Para resolver isso, vamos tratar cada elemento das matrizes como uma variável separada e resolver as equações passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes X = x11 & x12 x21 & x22 e Y = y11 & y12 y21 & y22 e com elementos desconhecidos:
Agora, substituímos e nas equações do sistema.

Passo 3

Vamos substituir nas duas equações:
  1. 2 x11 & x12 x21 & x22 + 3 y11 & y12 y21 & y22 = -5 & 3 16 & -6 :
2x11 + 3y11 & 2x12 + 3y12 2x21 + 3y21 & 2x22 + 3y22 = -5 & 3 16 & -6
Isso resulta em:
5 x11 & x12 x21 & x22 - 2 y11 & y12 y21 & y22 = 16 & -40 21 & 23
  1. 5x11 - 2y11 & 5x12 - 2y12 5x21 - 2y21 & 5x22 - 2y22 = 16 & -40 21 & 23 :
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, temos um conjunto de equações para cada elemento das matrizes:
Para a posição (1,1):
2x11 + 3y11 = -5 (1)
5x11 - 2y11 = 16 (2)
Para a posição (1,2):
2x12 + 3y12 = 3 (3)
5x12 - 2y12 = -40 (4)
Para a posição (2,1):
2x21 + 3y21 = 16 (5)
5x21 - 2y21 = 21 (6)
Para a posição (2,2):
2x22 + 3y22 = -6 (7)
5x22 - 2y22 = 23 (8)
Vamos resolver cada par de equações para encontrar os valores de e .

Passo 5

Vamos resolver as equações para a posição (1,1):
Equações (1) e (2):
2x11 + 3y11 = -5 5x11 - 2y11 = 16
Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para eliminar 4x11 + 6y11 = -10 15x11 - 6y11 = 48 :
19x11 = 38 implies x11 = 2
Somando as duas equações:
2(2) + 3y11 = -5 implies 4 + 3y11 = -5 implies 3y11 = -9 implies y11 = -3
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora, para a posição (1,2):
Equações (3) e (4):
2x12 + 3y12 = 3 5x12 - 2y12 = -40
Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
4x12 + 6y12 = 6 15x12 - 6y12 = -120
Somando as duas equações:
19x12 = -114 implies x12 = -6
Substituindo 2(-6) + 3y12 = 3 implies -12 + 3y12 = 3 implies 3y12 = 15 implies y12 = 5 na primeira equação:

Passo 7

Para a posição (2,1):
Equações (5) e (6):
2x21 + 3y21 = 16 5x21 - 2y21 = 21
Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
4x21 + 6y21 = 32 15x21 - 6y21 = 63
Somando as duas equações:
19x21 = 95 implies x21 = 5
Substituindo 2(5) + 3y21 = 16 implies 10 + 3y21 = 16 implies 3y21 = 6 implies y21 = 2 na primeira equação:

Passo 8

Finalmente, para a posição (2,2):
Equações (7) e (8):
2x22 + 3y22 = -6 5x22 - 2y22 = 23
Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3:
4x22 + 6y22 = -12 15x22 - 6y22 = 69
Somando as duas equações:
19x22 = 57 implies x22 = 3
Substituindo 2(3) + 3y22 = -6 implies 6 + 3y22 = -6 implies 3y22 = -12 implies y22 = -4 na primeira equação:

Resposta

Depois de resolver todas as equações, as matrizes X = 2 & -6 5 & 3 e Y = -3 & 5 2 & -4 e são:

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