Determine a matriz do operador de derivação D: P4(R) P4(R) em relação à base B=1, x, x^2, x^3, x^4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador de derivação que atua no espaço dos polinômios de grau até 4, ou seja, . A base que estamos utilizando é . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa esse operador nessa base específica.

Passo 2

Para encontrar a matriz do operador de derivação , precisamos ver como age sobre cada vetor da base . Isso significa calcular a derivada de cada elemento da base.

Passo 3

Vamos derivar cada polinômio da base:
  • (a derivada de uma constante é zero)

Passo 4

Agora, expressamos cada derivada como combinação linear da base :

Passo 5

Esses coeficientes vão formar as colunas da matriz representante do operador na base . Cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base.

Passo 6

Organizando os coeficientes, a matriz fica assim:
0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Resposta

A matriz do operador de derivação 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 na base é:

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