Determine os focos, vértices e as equeçōes das assintotas da hipérbole cuja equação é x^2-9 y^2-8 x+36 y+16=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma hipérbole dada pela equação . O conteúdo que vamos usar aqui é o estudo das cônicas, especificamente a hipérbole. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão da hipérbole. Isso vai nos ajudar a achar os vértices, focos e as assimptotas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 - 8x - 9y^2 + 36y = -16 e juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (x^2 - 8x + 16) - 16 - 9(y^2 - 4y + 4) + 36 = -16 e de (x - 4)^2 - 16 - 9(y - 2)^2 + 36 = -16 .
Para :
  • Pegamos .
  • O termo que completa o quadrado é .
Para :
  • Fatoramos o coeficiente de que é -9: .
  • O termo que completa o quadrado dentro do parênteses é .
Então, adicionamos e subtraímos esses termos:
Simplificando:

Passo 4

Vamos simplificar mais a equação:
(x - 4)^2 - 9(y - 2)^2 + 20 = -16
Subtraindo 20 de ambos os lados:
(x - 4)^2 - 9(y - 2)^2 = -36
Para deixar a equação na forma padrão da hipérbole, dividimos todos os termos por -36:
(x - 4)^236 - (y - 2)^24 = 1

Passo 5

Agora, temos a equação na forma padrão de uma hipérbole horizontal:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
  • c^2 = 36 + 4 = 40 Rightarrow c = raiz40 = 2raiz10
  • então
  • então
Para encontrar , que está relacionado aos focos, usamos a relação :

Passo 6

Com esses valores, podemos encontrar:
  • Vértices: São unidades do centro ao longo do eixo principal (x neste caso).
  • Focos: São unidades do centro ao longo do eixo principal.
  • Assíntotas: São retas que passam pelo centro e têm inclinação .
    • Inclinação:
    • Equações:

Resposta

Vértices: y = 13x + 23 e y = -13x + 103 e
Focos: e
Assíntotas:

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