Determine os focos, vértices e as equeçōes das assintotas da hipérbole cuja equação é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma hipérbole dada pela equação
. O conteúdo que vamos usar aqui é o estudo das cônicas, especificamente a hipérbole. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado para reescrever a equação na forma padrão da hipérbole. Isso vai nos ajudar a achar os vértices, focos e as assimptotas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Para
:
- Pegamos
. - O termo que completa o quadrado é
.
Para
:
- Fatoramos o coeficiente de
que é -9: . - O termo que completa o quadrado dentro do parênteses é
.
Então, adicionamos e subtraímos esses termos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos simplificar mais a equação:
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Para deixar a equação na forma padrão da hipérbole, dividimos todos os termos por -36:
Passo 5
Agora, temos a equação na forma padrão de uma hipérbole horizontal:
Comparando com a nossa equação:
-
-
-
então -
então
Para encontrar
, que está relacionado aos focos, usamos a relação
:
Passo 6
Com esses valores, podemos encontrar:
-
Vértices: São
unidades do centro ao longo do eixo principal (x neste caso). -
-
Focos: São
unidades do centro ao longo do eixo principal. -
-
Assíntotas: São retas que passam pelo centro e têm inclinação
. - Inclinação:
- Equações:
-
- Inclinação:
Resposta
Vértices:
e
Focos:
e
Assíntotas: