Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os pontos críticos, os pontos de extremo local (máximos e mínimos) e os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas da matéria de Cálculo Diferencial, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para identificar os pontos críticos.
Passo 3
Os pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não está definida. Vamos resolver
:
Além disso, a derivada
não está definida quando
, mas como a função
também não está definida em
, esse ponto não é considerado.
Passo 4
Agora, vamos determinar se
é um ponto de máximo ou mínimo local. Para isso, usamos a segunda derivada da função.
Como
é sempre positiva para
, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Vamos agora determinar os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo analisando o sinal da derivada
.
-
Para
: A função está aumentando nesse intervalo. -
Para
: A função está diminuindo nesse intervalo. -
Para
: A função está aumentando nesse intervalo.
Resposta
- Ponto crítico:
- Extremo local: Mínimo local em
- Intervalos de crescimento:
e - Intervalo de decrescimento:
Exercícios relacionados
Encontre dois números positivos
e
cujo produto é 6 tais que minimizem a soma
.
Verifique se a função
definida por
é contínua para
.
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos de inflexão da função e os intervalos nos quais a função tem concavidade para cima ou para baixo:
.