Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos críticos, os pontos de extremo local (máximos e mínimos) e os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas da matéria de Cálculo Diferencial, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para identificar os pontos críticos.

Passo 3

Os pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não está definida. Vamos resolver :
Além disso, a derivada não está definida quando , mas como a função também não está definida em , esse ponto não é considerado.

Passo 4

Agora, vamos determinar se é um ponto de máximo ou mínimo local. Para isso, usamos a segunda derivada da função.
Como é sempre positiva para , isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Vamos agora determinar os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo analisando o sinal da derivada .
  • Para :
    A função está aumentando nesse intervalo.
  • Para :
    A função está diminuindo nesse intervalo.
  • Para :
    A função está aumentando nesse intervalo.

Resposta

  • Ponto crítico:
  • Extremo local: Mínimo local em
  • Intervalos de crescimento: e
  • Intervalo de decrescimento:

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Encontre dois números positivos e cujo produto é 6 tais que minimizem a soma .
Verifique se a função definida por
é contínua para .
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos de inflexão da função e os intervalos nos quais a função tem concavidade para cima ou para baixo:
.