Em cada um dos seguintes itens determine os pontos de inflexão da função e os intervalos nos quais a função tem concavidade para cima ou para baixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir onde ela tem pontos de inflexão e em quais intervalos ela está “curvando para cima” ou “curvando para baixo”. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos dá a taxa de variação da função. A derivada de
é:
Isso nos mostra como a inclinação da função muda conforme
varia.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada,
, que nos ajuda a determinar a concavidade da função. Derivando
:
Passo 4
Os pontos de inflexão acontecem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
ou não está definida. Observando
:
- A função está definida para todos
exceto , onde a derivada não existe. - Não há valores de
que tornam .
Portanto, o único ponto crítico é
. Vamos verificar a concavidade em torno desse ponto:
- Para
, , então (concavidade para baixo). - Para
, , mas como o expoente é ímpar negativo, (concavidade para cima).
Resposta
A função
possui um ponto de inflexão em
. Nos intervalos:
- Para
, a função é concava para cima. - Para
, a função é concava para baixo.
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Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
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O potencial de Lennard-Jones que descreve a interação entre as moléculas de um gás não-ideal é dado por
em que
e
são constantes e
é a distância entre duas moléculas. Mostre que esse potencial tem um mínimo local no ponto
.
Usando a fórmula para
e a identidade
, faça a substituição
para mostrar que
e