Em cada um dos seguintes itens determine os pontos de inflexão da função e os intervalos nos quais a função tem concavidade para cima ou para baixo:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela tem pontos de inflexão e em quais intervalos ela está “curvando para cima” ou “curvando para baixo”. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos dá a taxa de variação da função. A derivada de é:
Isso nos mostra como a inclinação da função muda conforme varia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que nos ajuda a determinar a concavidade da função. Derivando :

Passo 4

Os pontos de inflexão acontecem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde ou não está definida. Observando :
  • A função está definida para todos exceto , onde a derivada não existe.
  • Não há valores de que tornam .
Portanto, o único ponto crítico é . Vamos verificar a concavidade em torno desse ponto:
  • Para , , então (concavidade para baixo).
  • Para , , mas como o expoente é ímpar negativo, (concavidade para cima).

Resposta

A função possui um ponto de inflexão em . Nos intervalos:
  • Para , a função é concava para cima.
  • Para , a função é concava para baixo.

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O potencial de Lennard-Jones que descreve a interação entre as moléculas de um gás não-ideal é dado por
em que e são constantes e é a distância entre duas moléculas. Mostre que esse potencial tem um mínimo local no ponto .
Usando a fórmula para e a identidade , faça a substituição para mostrar que
e