Verifique se a função definida por
é contínua para .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para verificar se a função é contínua em . Estamos trabalhando com o tópico de continuidade de funções, que estuda se uma função não tem “quebras” ou “saltos” em determinados pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite de uma função e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função :
Queremos saber se é contínua em . Para isso, precisamos verificar três coisas:
  1. A função está definida em ? Sim, .
  2. O limite de quando se aproxima de -1 existe?
  3. O limite é igual ao valor da função em ?

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de -1:
Primeiro, tentamos substituir :
Essa forma é indeterminada, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador :
Agora, substituímos na função:
Podemos simplificar cancelando no numerador e denominador (lembrando que ):

Passo 5

Agora, o limite fica mais simples:

Passo 6

Comparando o limite com o valor da função em :
Como , o limite não é igual ao valor da função.

Resposta

A função não é contínua em porque o limite quando se aproxima de -1 é -1, diferente do valor da função em , que é 3.

Exercícios relacionados

Calcule :
Calcule os seguintes limites:
Encontre dois números positivos e cujo produto é 6 tais que minimizem a soma .
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente: