Verifique se a função
definida por
é contínua para
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é contínua em
. Estamos trabalhando com o tópico de continuidade de funções, que estuda se uma função não tem “quebras” ou “saltos” em determinados pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite de uma função e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
:
Queremos saber se
é contínua em
. Para isso, precisamos verificar três coisas:
- A função está definida em
? Sim, . - O limite de
quando se aproxima de -1 existe? - O limite é igual ao valor da função em
?
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de -1:
Primeiro, tentamos substituir
:
Essa forma
é indeterminada, então precisamos simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador
:
Agora, substituímos na função:
Podemos simplificar cancelando
no numerador e denominador (lembrando que
):
Passo 5
Agora, o limite fica mais simples:
Passo 6
Comparando o limite com o valor da função em
:
Como
, o limite não é igual ao valor da função.
Resposta
A função
não é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de -1 é -1, diferente do valor da função em
, que é 3.
Exercícios relacionados
Calcule
:
Calcule os seguintes limites:
Encontre dois números positivos
e
cujo produto é 6 tais que minimizem a soma
.
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente: