Encontre dois números positivos
e
cujo produto é 6 tais que minimizem a soma
.
Passo 1
Beleza! A gente quer encontrar dois números positivos,
e
, que ao multiplicarmos dão 6 (
). E a gente quer que a soma
seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e cálculo, principalmente trabalhando com funções para encontrar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a condição que o produto de
e
é 6. Isso quer dizer que
. Assim, podemos substituir
na expressão que queremos minimizar (
).
Passo 3
Substituindo
na soma, temos:
Agora, nossa função para minimizar é
.
Passo 4
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada de
é:
Igualando a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Como estamos buscando números positivos, consideramos apenas a raiz positiva.
Passo 6
Agora que temos
, substituímos de volta na expressão para
:
Resposta
Os dois números positivos que minimizam a soma
são
e
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função
definida por
é contínua para
.
Calcule
:
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente: