Encontre dois números positivos e cujo produto é 6 tais que minimizem a soma .

Passo 1

Beleza! A gente quer encontrar dois números positivos, e , que ao multiplicarmos dão 6 ( ). E a gente quer que a soma seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e cálculo, principalmente trabalhando com funções para encontrar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição que o produto de e é 6. Isso quer dizer que . Assim, podemos substituir na expressão que queremos minimizar ( ).

Passo 3

Substituindo na soma, temos:
Agora, nossa função para minimizar é .

Passo 4

Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada de é:
Igualando a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação:
Como estamos buscando números positivos, consideramos apenas a raiz positiva.

Passo 6

Agora que temos , substituímos de volta na expressão para :

Resposta

Os dois números positivos que minimizam a soma são e .

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Verifique se a função definida por
é contínua para .
Calcule :
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente:
Em cada um dos seguintes itens determine os pontos críticos da função, os pontos de extremo local, e os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente: